Bài 3.6 trang 69 SBT Đại số và giải tích 11: Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó...

Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển ({left( {{x^2} – {2 over x}} ight)^n}) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Giải:

Ta có:

({left( {{x^2} – {2 over x}} ight)^n} = C_n^0{left( {{x^2}} ight)^n} + C_n^1{left( {{x^2}} ight)^{n – 1}}.left( { – {2 over x}} ight) + C_n^2{left( {{x^2}} ight)^{n – 2}}.{left( { – {2 over x}} ight)^2} + …) 

Theo giả thiết, ta có: 

(eqalign{
& C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 cr
& Leftrightarrow 1 – 2n + 2nleft( {n – 1} ight) – 97 = 0 cr
& Leftrightarrow {n^2} – 2n – 48 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
n = 8 hfill cr
n = – 6{ m{ }}left( {loại} ight) hfill cr} ight. cr})

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

(eqalign{
& {left( {{x^2} – {2 over x}} ight)^8} cr
& = sumlimits_{k = 0}^8 {C_8^k{{left( {{x^2}} ight)}^{8 – k}}{{left( { – {2 over x}} ight)}^k}} cr
& = sumlimits_{k = 0}^8 {{{left( { – 2} ight)}^k}.C_8^k.{x^{16 – 3k}}} cr} ) 

Như vậy, ta phải có (16 – 3k = 4 Leftrightarrow k = 4). 

Do đó hệ số của số hạng chứa x⁴ là ({left( { – 2} ight)^4}.C_8^4 = 1120).