Bài 3.6 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển ({left( {{x^2} - {2 over x}} ight)^n}) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Giải:

Ta có:

({left( {{x^2} - {2 over x}} ight)^n} = C_n^0{left( {{x^2}} ight)^n} + C_n^1{left( {{x^2}} ight)^{n - 1}}.left( { - {2 over x}} ight) + C_n^2{left( {{x^2}} ight)^{n - 2}}.{left( { - {2 over x}} ight)^2} + ...) 

Theo giả thiết, ta có: 

(eqalign{
& C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 cr
& Leftrightarrow 1 - 2n + 2nleft( {n - 1} ight) - 97 = 0 cr
& Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
n = 8 hfill cr
n = - 6{ m{ }}left( {loại} ight) hfill cr} ight. cr})

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

(eqalign{
& {left( {{x^2} - {2 over x}} ight)^8} cr
& = sumlimits_{k = 0}^8 {C_8^k{{left( {{x^2}} ight)}^{8 - k}}{{left( { - {2 over x}} ight)}^k}} cr
& = sumlimits_{k = 0}^8 {{{left( { - 2} ight)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} cr} ) 

Như vậy, ta phải có (16 - 3k = 4 Leftrightarrow k = 4). 

Do đó hệ số của số hạng chứa x⁴ là ({left( { - 2} ight)^4}.C_8^4 = 1120).