Bài 2.17 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức

a)      Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức

$$C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5$$

b)      Chứng minh công thức Niu-tơn 

$$C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{ m{   }}left( {n ge r ge k ge 0} ight)$$

c)      Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng

$$S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!$$

Giải:

a)      Cách thứ nhất: Chọn 9 bạn nam trong 50 bạnđể làm trực nhật. Có (C_{50}^9) cách.

Khi đã chọnđược 9 bạn rồi, chọn 4 trong 9 bạnđó để quét sân. Có (C_9^4) cách.

Từ đó, theo quy tắc nhân, có (C_{50}^9.C_9^4) cách phân công.

Cách thứ hai: Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có (C_{50}^4.C_{46}^5) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

b)      Lập luận tương tự.

c)      Ta có: )0! = 1;{ m{ }}2! = 2;{ m{ }}4! = 1.2.3.4 = 24)

Các số hạng (6!{ m{ }};{ m{ }}8!{ m{ }};{ m{ }}...{ m{ ; 100!}}) đều có tận cùnglà chữ số 0. Do đó chữ số ở  hàng đơn vị của S là 1 + 2 + 4 = 7