Bài 3.32 trang 154 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang svuông ABCD vuông tại A và D, có (AB = 2{ m{a}},A{ m{D}} = DC = a), có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

b) Gọi (varphi ) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính ( an varphi ).

c) Gọi (left( alpha   ight)) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định (left( alpha   ight)) và xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với (left( alpha   ight))

Giải:

a) Ta có:

(left. matrix{
C{ m{D}} ot A{ m{D}} hfill cr
C{ m{D}} ot SA hfill cr} ight} Rightarrow C{ m{D}} ot left( {SA{ m{D}}} ight))

( Rightarrow left( {SC{ m{D}}} ight) ot left( {SA{ m{D}}} ight))

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì (DIparallel CB) và (DI ot CA) nên (AC ot CB). Do đó (CB ot left( {SAC} ight)).

Vậy (left( {SBC} ight) ot left( {SAC} ight)).

b) Ta có:

(varphi  = widehat {SCA} Rightarrow an varphi  = {{SA} over {AC}} = {a over {asqrt 2 }} = {{sqrt 2 } over 2})

c)

(left. matrix{
DI ot AC hfill cr
DI ot SA hfill cr} ight} Rightarrow DI ot left( {SAC} ight))

Vậy (left( alpha   ight)) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (left( alpha   ight)) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng (asqrt 2 ). Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có (SH ot DI) và (SH = {{DIsqrt 3 } over 2} = {{asqrt 6 } over 2}). Tam giác SDI có diện tích:

(Delta S{ m{D}}I = {1 over 2}SH.DI = {1 over 2}{{asqrt 6 } over 2}.asqrt 2  = {{{a^2}sqrt 3 } over 2})

Sachbaitap.com