Bài 3.27 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Cho hai đường tròn (C1) ...
Cho hai đường tròn (C1)
Cho hai đường tròn (C1) : ({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0)
và (C2) : ({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0)
a) Tìm câm và bán kính của (C 1) và (C 2) .
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1) và (C 2).
Gợi ý làm bài
a) (C 1) có tâm có bán kính ({R_1} = 2);
(C 2) có tâm có bán kính ({R_2} = 1).
b) Xét đường thẳng (Delta ) có phương trình:
(y = kx + m) hay (kx - y + m = 0). Ta có:
(Delta) tiếp xúc vơi (C 1) và (C 2) khi và chỉ khi
(left{ matrix{
d({I_1},Delta ) = {R_1} hfill cr
d({I_2},Delta ) = {R_2} hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{{left| {3k + m}
ight|} over {sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) hfill cr
{{left| {6k - 3 + m}
ight|} over {sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) hfill cr}
ight.)
Từ (1) và (2) suy ra
(left| {3k + m} ight| = 2left| {6k - 3 + m} ight|)
Trường hợp 1: (3k + m = 2(6k - 3 + m) Leftrightarrow m = 6 - 9k) (3)
Thay vào (2) ta được
(left| {6k - 3 + 6 - 9k} ight| = sqrt {{k^2} + 1} Leftrightarrow left| {3 - 3k} ight| = sqrt {{k^2} + 1} )
( Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1)
( Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0)
(Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0)
( Leftrightarrow left[ matrix{
{k_1} = {{9 + sqrt {17} } over 8} hfill cr
{k_2} = {{9 - sqrt {17} } over 8} hfill cr}
ight.)
Thay giá trị của k vào (3) ta tính được
(left[ matrix{
{k_1} = 6 - 9{k_1} hfill cr
{k_2} = 6 - 9{k_2} hfill cr}
ight.)
Vậy ta được hai tiếp tuyến
({Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};)
({Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.)
Trường hợp 2:
(eqalign{
& 3k + m = - 2(6k - 3 + m) cr
& Leftrightarrow 3m = 6 - 15k cr} )
( Leftrightarrow m = 2 - 5k) (4)
Thay vào (2) ta được
(left| {6k - 3 + 2 - 5k} ight| = sqrt {{k^2} + 1} Leftrightarrow left| {k - 1} ight| = sqrt {{k^2} + 1} )
( Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1)
(Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1)
( Leftrightarrow k = 0.)
Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.
Vậy ta được tiếp tuyến
({Delta _3}:y = 2.)
Xét đường thẳng ({Delta _4}) vuông góc với Ox tại ({x_0}):
({Delta _4}:x - {x_0} = 0.)
({Delta _4}) tiếp xúc vơi (C 1) và (C 2) khi và chỉ khi
(eqalign{
& left{ matrix{
d({I_1},{Delta _4}) = {R_1} hfill cr
d({I_2},{Delta _4}) = {R_2} hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
left| {3 - {x_0}}
ight| = 2 hfill cr
left| {6 - {x_0}}
ight| = 1 hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
{x_0} = 1 vee {x_0} = 5 hfill cr
{x_0} = 5 vee {x_0} = 7 hfill cr}
ight. Leftrightarrow {x_0} = 5. cr} )
Vậy ta được tiếp tuyến: ({Delta _4}:x - 5 = 0)
Tóm lại hai đường tròn (C 1) và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung ({Delta _1}), ({Delta _2}), ({Delta _3}) và ({Delta _4})
Sachbaitap.net