Bài 29 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao, Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt cả hai đường thẳng sau:...

Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua (Aleft( {1; – 1;1} ight)) và cắt cả hai đường thẳng sau:

(d:left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = t hfill cr
z = 3 – t hfill cr} ight.,,;,,d’:left{ matrix{
x = t hfill cr
y = – 1 – 2t hfill cr
z = 2 + t hfill cr} ight.)

Giải

Lấy điểm (Mleft( {1 + 2t,t,3 – 1} ight)) nằm trên d và điểm (M’left( {t’, – 1 – 2t’,2 + t’} ight)) nằm trên d’.
Rõ ràng (A otin d) và (A otin d’). Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức (overrightarrow {AM} ) và (overrightarrow {AM’} ) cùng phương.
Ta có (overrightarrow {AM}  = left( {2t,1 + t,2 – t} ight);overrightarrow {AM’}  = left( { – 1 + t’, – 2t’,1 + t’} ight)). Do đó:

$$eqalign{
& left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow {AM’} } ight] = left( {left| matrix{
{1 + t},,,,,{2 – t} hfill cr
– 2t’,,,,,,{1 + t’} hfill cr} ight|;left| matrix{
{2 – t},,,,,,,,,2t hfill cr
{1 + t’},, ,,{- 1 + t’ }hfill cr} ight|;left| matrix{
2t,,,,,,,,,,,{1 + t} hfill cr
{- 1 + t’},,,,{ – 2t’} hfill cr} ight|} ight) cr
& = left( {1 + t + 5t’ – tt’; – 2 – t + 2t’ – 3tt’;1 + t – t’ – 5tt’} ight) cr} $$

Hai vectơ (overrightarrow {AM} ) và (overrightarrow {AM’} ) cùng phương khi và chỉ khi (left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow {AM’} } ight] = overrightarrow 0 ) hay: 

(left{ matrix{
1 + t + 5t’ – tt’ = 0 hfill cr
– 2 – t + 2t’ – 3tt’ = 0 hfill cr
1 + t – t’ – 5tt’ = 0 hfill cr} ight.)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ

(left{ matrix{
5 + 4t + 13t’ = 0 hfill cr
4 + 4t + 26t’ = 0 hfill cr} ight.).

Suy ra (t =  – {3 over 2};t’ = {1 over {13}}). Khi đó (overrightarrow {AM}  = left( { – 3; – {1 over 2};{7 over 2}} ight)).
Gọi (Delta ) là đường thẳng đi qua A và M, (Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = 2overrightarrow {AM}  = left( { – 6; – 1;7} ight)) nên có phương trình tham số là: 

(left{ matrix{
x = 1 – 6t hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 1 + 7t hfill cr} ight.)