Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bài 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = sqrt {3 - 2x} ) trên đoạn (left[ { - 3;1} ight]);

b) (fleft( x ight) = x + sqrt {4 - {x^2}} )

c) (fleft( x ight) = {sin ^4}x + {cos ^2}x + 2;) 

d) (fleft( x ight) = x - sin 2x) trên đoan (left[ { - {pi  over 2};pi } ight]).

Giải

a) TXĐ: (D = left[ { - 3;1} ight]); (f'left( x ight) = {{ - 1} over {sqrt {3 - 2x,} }} < 0) với mọi (x < {3 over 2},)

Hàm số (f) nghịch biến trên đoạn (left[ { - 3;1} ight])

Do đó (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ { - 3;1} ight]}  = fleft( { - 3} ight) = 3); (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in left[ { - 3;1} ight]}  = fleft( 1 ight) = 1)

b) TXĐ: (D = left[ { - 2;2} ight];f'left( x ight) = 1 - {x over {4 - {x^2}}}) với (x in left( { - 2;2} ight))

(f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow 1 - {x over {4 - {x^2}}} = 0 Leftrightarrow sqrt {4 - {x^2}} = x Leftrightarrow left{ matrix{
0 < x < 2 hfill cr
4 - {x^2} = {x^2} hfill cr} ight. Leftrightarrow x = sqrt 2 )

Ta có (fleft( { - 2} ight) =  - 2;fleft( {sqrt 2 } ight) = 2sqrt 2 ;fleft( 2 ight) = 2)

Vậy (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ { - 2;2} ight]}  = 2sqrt 2 ;,,,mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in left[ { - 2;2} ight]}  =  - 2)

c) TXĐ: (D =mathbb R)

Ta có: (fleft( x ight) = {sin ^4}x + 1 - {sin ^2}x + 2 = {sin ^4}x - {sin ^2}x + 3)

Đặt (t = {sin ^2}x;0 le t le 1)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm (gleft( t ight) = {t^2} - t + 3) số trên đoạn (left[ {0;1} ight])

(g'left( t ight) = 2t - 1;g'left( t ight) = 0 Leftrightarrow t = {1 over 2})

Ta có: (gleft( 0 ight) = 3;gleft( {{1 over 2}} ight) = {{11} over {14}};gleft( 1 ight) = 3)

Do đó:  (mathop {min gleft( t ight)}limits_{t in left[ {0;1} ight]}  = {{11} over {14}};,,,,,,mathop {max gleft( t ight)}limits_{t in left[ {0;1} ight]}  = 3)

Vậy: (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in {mathbb{R}}}  = {{11} over {14}};,,,,,,mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in {mathbb{R}}}  = 3)

d) TXĐ: (D = left[ { - {pi  over 2};pi } ight])

(f'left( x ight) = 1 - 2cos 2x;)

(f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi  over 3} Leftrightarrow 2x =  pm {pi  over 3} + k2pi  Leftrightarrow x =  pm {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}})

Với ( - {pi  over 2} < x < pi ,f'left( x ight) = 0) tại các điểm ( - {pi  over 6},{pi  over 6}) và ({{5pi } over 6})

Ta có (fleft( { - {pi  over 6}} ight) =  - {pi  over 6} + {{sqrt 3 } over 2};fleft( {{pi  over 6}} ight) = {pi  over 6} - {{sqrt 3 } over 2};fleft( {{{5pi } over 6}} ight) = {{5pi } over 6} + {{sqrt 3 } over 2});
.(fleft( { - {pi  over 2}} ight) =  - {pi  over 2};fleft( pi  ight) = pi )
So sánh năm giá trị trên ta được:
(mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ { - {pi  over 2};pi } ight]}  = {{5pi } over 6} + {{sqrt 3 } over 2}) và (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in left[ { - {pi  over 2};pi } ight]}  =  - {pi  over 2})

soanbailop6.com