Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 21 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài 21. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {x over {{x^2} + 1}};)                    b) (fleft( x ight) = {{{x^3}} over {x + 1}};)

c) (fleft( x ight) = sqrt {5 - {x^2}} ;)              d) (fleft( x ight) = x + sqrt {{x^2} - 1} ).

Giải

a) TXĐ: (D = {mathbb{R}})

(f'left( x ight) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} over {{{left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}} = {{1 - {x^2}} over {{{left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}};f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,,,,,fleft( 1 ight) = {1 over 2} hfill cr
x = - 1,,,fleft( { - 1} ight) = - {1 over 2} hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=-1), giá trị cực tiểu (fleft( { - 1} ight) =  - {1 over 2}). Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=1), giá trị cực đại (fleft( 1 ight) = {1 over 2}).

b) TXĐ: (D = {mathbb {R}}ackslash left{ { - 1} ight})

(eqalign{
& f'left( x ight) = {{3{x^2}left( {x + 1} ight) - {x^3}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} cr
& f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow {x^2}left( {2x + 3} ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = - {3 over 2} hfill cr} ight. cr
& fleft( { - {3 over 2}} ight) = {{27} over 4} cr} )

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  - {3 over 2}), giá trị cực tiểu (fleft( { - {3 over 2}} ight) = {{27} over 4}).

c) TXĐ: (D = left[ { - sqrt 5 ;sqrt 5 } ight])

(f'left( x ight) = {{ - 2x} over {2sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} over {sqrt {5 - {x^2}} }};f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow x = 0;fleft( 0 ight) = sqrt 5 )

Hàm số đạt cực đại tại (x=0), giá trị cực đại (fleft( 0 ight) = sqrt 5 ).

d) (fleft( x ight)) xác định khi và chỉ khi ({x^2} - 1 ge 0) ( Leftrightarrow x le  - 1)hoặc (x ge 1).

TXĐ: (D = left( { - infty ; - 1} ight] cup left[ {1; + infty } ight))

(f'left( x ight) = 1 + {x over {sqrt {{x^2} - 1} }} = {{sqrt {{x^2} - 1}  + x} over {sqrt {{x^2} - 1} }}) 

(f'left( x ight) = 0 Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} = - x Leftrightarrow left{ matrix{
x le 0 hfill cr
{x^2} - 1 = {x^2} hfill cr} ight.) vô nghiệm

(f'left( { - 2} ight) < 0 Rightarrow f'left( x ight) < 0) với mọi (x <  - 1)

(f'left( { - 2} ight) > 0 Rightarrow f'left( x ight) > 2) với mọi (x > 1)

Hàm số nghịch biến trên (left( { - infty ; - 1} ight]) và đồng biến trên (left[ {1; + infty } ight)).

Hàm số không có cực trị.

soanbailop6.com