Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các số thực b, c để phương trình

Bài 25

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                ({z^2} + bz + c = 0) 

nhận (z = 1 + i) làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      ({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0) 

nhận (z = 1 + i) làm nghiệm và cũng nhận (z = 2) là nghiệm.

Giải

a) (1 + i) là một nghiệm của phương trình ({z^2} + bz + c = 0) khi và chỉ khi

({left( {1 + i} ight)^2} + bleft( {1 + i} ight) + c = 0 Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0)

( Leftrightarrow b + c + left( {2 + b} ight)i = 0 Leftrightarrow left{ matrix{  b + c = 0 hfill cr  2 + b = 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  b =  - 2 hfill cr  c = 2 hfill cr}  ight.)

b) (1 + i) là một nghiệm của ({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0)  khi và chỉ khi

   ({left( {1 + i} ight)^3} + a{left( {1 + i} ight)^2} + bleft( {1 + i} ight) + c = 0 Leftrightarrow left( {b + c - 2} ight)+left( {2 + 2a + b} ight)i = 0)

( Leftrightarrow left{ matrix{  b + c - 2 = 0,,,,,,,,left( 1 ight) hfill cr  2a + b + 2 = 0,,,,,left( 2 ight) hfill cr}  ight.)

(2) là nghiệm của ({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0) khi và chỉ khi (8 + 4a + 2b + c = 0,,,left( 3 ight))

Từ (1), (2), (3) ta có hệ: .(left{ matrix{  b + c = 2 hfill cr  2a + b =  - 2 hfill cr  4a + 2b + c =  - 8 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  a =  - 4 hfill cr  b = 6 hfill cr  c =  - 4 hfill cr}  ight.) 

soanbailop6.com