Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình bậc hai sau:

Bài 19

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

a) ({z^2} = z + 1);

b) ({z^2} + 2z + 5 = 0)

c) ({z^2} + left( {1 - 3i} ight)z - 2left( {1 + i} ight) = 0).

Giải

a) Ta có ({z^2} = z + 1 Leftrightarrow {z^2} - z = 1 Leftrightarrow {z^2} - z + {1 over 4} = {5 over 4})

                              ( Leftrightarrow {left( {z - {1 over 2}} ight)^2} = {5 over 4} Leftrightarrow z - {1 over 2} =  pm {{sqrt 5 } over 2} Leftrightarrow z = {1 over 2} pm {{sqrt 5 } over 2})

b) ({z^2} + 2z + 5 = 0 Leftrightarrow {left( {z + 1} ight)^2} =  - 4 = {left( {2i} ight)^2} Leftrightarrow left[ matrix{  z + 1 = 2i hfill cr  z + 1 =  - 2i hfill cr}  ight. Leftrightarrow left[ matrix{  z =  - 1 + 2i hfill cr  z =  - 1 - 2i hfill cr}  ight.)

Vậy (S = left{ { - 1 + 2i; - 1 - 2i} ight})

c) ({z^2} + left( {1 - 3i} ight)z - 2left( {1 + i} ight) = 0) có biệt thức

                   (Delta  = {left( {1 - 3i} ight)^2} + 8left( {1 + i} ight) = 1 - 9 - 6i + 8 + 8i = 2i = {left( {1 + i} ight)^2})

Do đó phương trình có hai nghiệm là: ({z_1} = {1 over 2}left[ { - 1 + 3i + left( {1 + i} ight)} ight] = 2i)

({z_2} = {1 over 2}left[ { - 1 + 3i - left( {1 + i} ight)} ight] =  - 1 + i)

Vậy (S = left{ {2i; - 1 + i} ight})

soanbailop6.com