Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

Bài 14

a) Cho số phức (z=x+yi) . Khi (z e i), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức ({{z + i} over {z - i}})

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức (z) thỏa mãn điều kiện ({{z + i} over {z - i}}) là số thực dương.

Giải

a) Ta có:

   ({{z + i} over {z - i}} = {{x + left( {y + 1} ight)i} over {x + left( {y - 1} ight)i}} = {{left[ {x + left( {y + 1} ight)i} ight]left[ {x - left( {y - 1} ight)i} ight]} over {{x^2} + {{left( {y - 1} ight)}^2}}} = {{{x^2} + {y^2} - 1} over {{x^2} + {{left( {y - 1} ight)}^2}}} + {{2x} over {{x^2} + {{left( {y - 1} ight)}^2}}}i)

Vậy phần thực là ({{{x^2} + {y^2} - 1} over {{x^2} + {{left( {y - 1} ight)}^2}}}), phần ảo là ({{2x} over {{x^2} + {{left( {y - 1} ight)}^2}}}).

b) Với (z e i), ({{z + i} over {z - i}}) là số thực dương khi và chỉ khi

(left{ matrix{  x = 0 hfill cr  {x^2} + {y^2} - 1 > 0 hfill cr}  ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
x = 0 hfill cr
{y^2} > 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 0 hfill cr
left[ matrix{
y > 1 hfill cr
y < - 1 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối (I, J) ( (I) biểu diễn (i) và (J) biểu diễn (-i)).

soanbailop6.com