Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao, Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau : a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng ; b) M...

Bài 21. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :
a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng (2x + 3y + z – 17 = 0);
b) M cách đều hai mặt phẳng (x + y – z + 1 = 0) và (x – y + z + 5 = 0)

Giải

a) Giả sử (Mleft( {0;0;c} ight)) thuộc trục Oz.
Ta có (MA = sqrt {{2^2} + {3^2} + {{left( {4 – c} ight)}^2}} ) và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng đã cho là (d = {{left| {c – 17} ight|} over {sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }})

(MA = d Leftrightarrow sqrt {13 + {{left( {4 – c} ight)}^2}}  = {{left| {c – 17} ight|} over {sqrt {14} }} Leftrightarrow 13 + {left( {4 – c} ight)^2} = {{{{left( {c – 17} ight)}^2}} over {14}} Leftrightarrow c = 3.)

Vậy (Mleft( {0,0,3} ight)).
b) (Mleft( {0;0;c} ight)) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

({{left| { – c + 1} ight|} over {sqrt 3 }} = {{left| {c + 5} ight|} over {sqrt 3 }} Leftrightarrow c =  – 2 Rightarrow Mleft( {0;0; – 2} ight))