Bài 21 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1...

Cho phương trình: kx₂ – 2(k + l)x + k + 1 = 0.

a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.

b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1

(Hướng dẫn: đặt x= y + 1).

Giải

a) Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 ( Leftrightarrow x = {1 over 2})   (nhận)

Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)² – k(k + 1) = k + 1

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

+ Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0

+ Trường hợp 2:

(left{ matrix{
Delta ge 0 hfill cr
S > 0 hfill cr
P > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
k + 1 ge 0 hfill cr
{{2(k + 1)} over k} > 0 Leftrightarrow k > 0 hfill cr
{{k + 1} over k} > 0 hfill cr} ight.)

+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1

Khi đó, phương trình trở thành –x² = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1

b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:

(eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} Leftrightarrow {x_1} – 1 < 0 < {x_2} – 1 cr
& Leftrightarrow ({x_1} – 1)({x_2} – 1) < 0 cr&Leftrightarrow {x_1}{x_2} – ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 cr
& Leftrightarrow {{k + 1} over k} – {{2(k + 1)} over k} + 1 < 0cr& Leftrightarrow {{k + 1 – 2k – 2 + k} over k} < 0 cr
& Leftrightarrow {{ – 1} over k} < 0 Leftrightarrow k > 0 cr} )

Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn (Δ = k + 1 > 0)

Vậy giá trị k cần tìm là k > 0