Bài 20 trang 90 SGK Hình học 10 Nâng cao, Cho hai đường thẳng sau:...

Cho hai đường thẳng

(eqalign{
& {Delta _1}:x + 2y – 3 = 0 cr
& {Delta _2}:3x – y + 2 = 0 cr} )

Viết phương trình đường thẳng (Delta ) đi qua điểm P(3, 1) và cắt  lần lượt ở A,B sao cho ({Delta _1},{Delta _2}) tạo với ({Delta _1}) và ({Delta _2}) một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

Giải

({Delta _1}) có vectơ pháp tuyến là: (overrightarrow {{n_1}} left( {1;2} ight).)

({Delta _2}) có vectơ pháp tuyến là: (overrightarrow {{n_2}} left( {3; – 1} ight).)

Giả sử (Delta ) qua P có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n left( {a;b} ight);,Delta ) cắt ({Delta _1},{Delta _2}) ở A và B sao cho tạo với  một tam giác cân có đáy AB thì góc hợp bởi (Delta ) với ({Delta _1})và góc hợp bởi (Delta )  với ({Delta _2}) bằng nhau.

Do đó:

(eqalign{
& {{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow n } ight|} over {left| {overrightarrow {{n_1}} } ight|.left| {overrightarrow n } ight|}} = {{left| {overrightarrow {{n_2}} .overrightarrow n } ight|} over {left| {overrightarrow {{n_2}} } ight|.left| {overrightarrow n } ight|}} cr
& Leftrightarrow {{|a + 2b|} over {sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{|3a – b|} over {sqrt {{3^2} + {1^2}} }} cr
& Leftrightarrow sqrt 2 |a + 2b| = |3a – b| cr
& Leftrightarrow 2{left( {a + 2b} ight)^2} = {left( {3a – b} ight)^2} cr
& Leftrightarrow {a^2} – 2ab – {b^2} = 0 cr} )

Chọn (b = 1) ta có: ({a^2} – 2a – 1 = 0 Leftrightarrow a = 1 pm sqrt 2 )

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

(left( {1 + sqrt 2 } ight)left( {x – 3} ight) + left( {y – 1} ight) = 0;)

(left( {1 – sqrt 2 } ight)left( {x – 3} ight) + left( {y – 1} ight) = 0.)