Bài 4 trang 80 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (A(3;2)) và song song với đường thẳng PQ...

Cho hai điểm (P(4;0),Q(0; – 2)) .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (A(3;2)) và song song với đường thẳng PQ;

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Giải

a) Gọi (Delta ) là đường thẳng đi qua điểm  (A(3;2)) và song song với đường thẳng PQ

(overrightarrow {PQ} left( { – 4; – 2} ight))

Gọi (overrightarrow n ) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: (overrightarrow n .overrightarrow {PQ}  = overrightarrow 0 )

Ta chọn (overrightarrow n (1; – 2))

(Delta ) song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của (Delta )

Phương trình tổng quát của (Delta ) đi qua A(3, 2)  và có véc tơ pháp tuyến  (overrightarrow n (1; – 2))  là:

(1.(x – 3) – 2(y – 2) = 0 Leftrightarrow x – 2y + 1 = 0)

b) Gọi (I({x_I};{y_I})) là trung điểm của PQ

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:

(left{ matrix{
{x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} over 2} hfill cr
{y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_I} = {{4 + 0} over 2} hfill cr
{y_I} = {{0 + ( – 2)} over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_I} = 2 hfill cr
{y_I} = – 1 hfill cr} ight.)

Vậy (I(2; – 1))

Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ

Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ

Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận (overrightarrow {PQ} left( { – 4; – 2} ight)) làm véc tơ pháp tuyến là:

( – 4.(x – 2) – 2.(y + 1) = 0 Leftrightarrow  – 4x – 2y + 6 = 0)

(Leftrightarrow 2x + y – 3 = 0)

.