Bài 2.37 trang 126 SBT Giải tích 12: Giải phương trình:...

Giải phương trình: ({4^{2x + sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3}}} = {4^{2 + sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3} + 4x – 4}}) (Đề thi đại học năm 2010, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: (x ge  – 2)

Phương trình tương đương với:

(({2^{4x}} – {2^4})({2^{2sqrt {x + 2} }} – {2^{{x^3} – 4}}) = 0) . Suy ra:

(Leftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{{2^{4x}} – {2^4} = 0}
{{2^{2sqrt {x + 2} }} – {2^{{x^3} – 4}} = 0}
end{array}} ight. Leftrightarrow left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}
{2sqrt {x + 2} = {x^3} – 4}
end{array}} ight.)            

Nhận thấy (x ge sqrt[3]{4})và phương trình có một nghiệm x = 2. Trên ({ m{[}}sqrt[3]{4}; + infty )) , hàm số  (f(x) = 2sqrt {x + 2}  – {x^3} + 4) có đạo hàm (f(x) = 2sqrt {x + 2}  – {x^3} + 4)  nên f(x) luôn nghịch biến. Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2.