Bài 2.23 trang 79 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD).

Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (left( alpha   ight)) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A’, B’, C’ và D’.

a) Chứng minh rằng (left( {Ax,By} ight)parallel left( {Cz,Dt} ight)) và (left( {Ax,Dt} ight)parallel left( {By,Cz} ight))

b) Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì?

c) Chứng minh (AA' + CC' = BB' + DD').

Giải:

a) Ta có :

(left{ matrix{
Axparallel Dt hfill cr
Dt subset left( {Cz,Dt} ight) hfill cr} ight.)

( Rightarrow Axparallel left( {Cz,Dt} ight)) 

(left. matrix{
ABparallel CD hfill cr
CD subset left( {Cz,Dt} ight) hfill cr} ight} Rightarrow ABparallel left( {Cz,Dt} ight))

Từ (Ax,AB subset left( {Ax,By} ight)) suy ra (left( {Ax,By} ight)parallel left( {Cz,Dt} ight))

Tương tự ta có (left( {Ax,Dt} ight)parallel left( {By,Cz} ight))

b) 

(left{ matrix{
left( alpha ight) cap left( {Ax,By} ight) = A'B` hfill cr
left( alpha ight) cap left( {Cz,Dt} ight) = C'D' Rightarrow A'B'parallel C'D',,,left( 1 ight) hfill cr
left( {Ax,By} ight)parallel left( {Cz,Dt} ight) hfill cr} ight.)

(left{ matrix{
left( alpha ight) cap left( {Ax,Dt} ight) = A'D` hfill cr
left( alpha ight) cap left( {By,Cz} ight) = B'C' Rightarrow A'D'parallel B'C',,,left( 2 ight) hfill cr
left( {Ax,Dt} ight)parallel left( {By,Cz} ight) hfill cr} ight.)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

c) Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’. Dễ thấy OO’ là đường trung bình của hình thang AA’, suy ra (OO' = {{AA' + CC'} over 2})

Tương tự ta có: 

(OO' = {{BB' + DD'} over 2} Rightarrow AA' + CC' = BB' + DD').

Sachbaitap.com