Bài 2.22 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 300.

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi ((alpha )) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và ((alpha )) bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi ((alpha )) và hình cầu.

b) Đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng ((alpha )) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng ((alpha )) . Theo giả thiết ta có (widehat {OAH} = {30^0}) .

Do đó:  (HA = OA.cos {30^0} = r{{sqrt 3 } over 2})

Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi ((alpha )) và hình cầu là: (S = pi .H{A^2} = {{3pi {r^2}} over 4})

b) Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có (OI ot AB) . Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.

Do đó (AI = OH = {{OA} over 2} = {r over 2}) . Vậy AB = 2AI = r

Chú ý:  Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc (widehat {OAB} = {60^0})  nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.

Sachbaitap.com