Bài 2.16 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) (widehat {BAC} = {90^0})             

b) (widehat {BAC} = {60^0}) và b = c            

c) (widehat {BAC} = {120^0}) và b = c

Hướng dẫn làm bài:

a) 

(widehat {BAC} = {90^0}). Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có   OS = OA = OB = OC

Và  ({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a over 2})^2} + {({b over 2})^2} + {({c over 2})^2})

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có (r = {1 over 2}sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} )

b) Hình 2.37

(widehat {BAC} = {60^0})  và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và r² = OA² = OI² + IA²

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

({r^2} = {({a over 2})^2} + {({2 over 3}b{{sqrt 3 } over 2})^2} = {{{a^2}} over 4} + {{{b^2}} over 3}) . Vậy  (r = sqrt {{{{a^2}} over 4} + {{{b^2}} over 3}} )

c) Hình 2.38

(widehat {BAC} = {120^0})  và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 120⁰ và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và ({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a over 2})^2} + {b^2})

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính (r = sqrt {{{{a^2}} over 4} + {b^2}} )

Sachbaitap.com