Bài 2.19 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình...

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD,  BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.

Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS ; CQ = CR = CN ; DR = DS = DP

Vậy  AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS

                       = AN + NC + BS + SD = AC + BD

Bằng lí luận tương tự ta chứng minh được AB + CD = AC + BD = AD + BC