Bài 11 trang 189 SBT Toán Đại số 10: Tính...

Cho ( an alpha  – 3cot alpha  = 6) và (pi  < alpha  < {{3pi } over 2}). Tính

a) (sin alpha  + cos alpha )

b) ({{2sin alpha  – an alpha } over {{ m{cos}}alpha { m{ + cot}}alpha }})

Gợi ý làm bài

Vì (pi  < alpha  < {{3pi } over 2})

Nên (cos alpha  < 0,sin alpha  < 0) và ( an alpha  > 0)

Ta có: ( an alpha  – 3cot alpha  = 6 Leftrightarrow an alpha  – {3 over { an alpha }} – 6 = 0)

( Leftrightarrow { an ^2}alpha  – 6 an alpha  – 3 = 0)

Vì ( an alpha  > 0) nên ( an alpha  = 3 + 2sqrt 3)

a) ({ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha  = {1 over {1 + {{ an }^2}alpha }} = {1 over {22 + 12sqrt 3 }})

Suy ra ({ m{cos}}alpha { m{ =  – }}{1 over {sqrt {22 + 12sqrt 3 } }},sin alpha  =  – {{3 + 2sqrt 3 } over {sqrt {22 + 12sqrt 3 } }}.)

Vậy (sin alpha  + c{ m{os}}alpha { m{ =  – }}{{4 + 2sqrt 3 } over {sqrt {22 + 12sqrt 3 } }})

(eqalign{
& {{2sin alpha – an alpha } over {{ m{cos}}alpha { m{ + cot}}alpha }} = {{sin alpha (2 – {1 over {{ m{cos}}alpha }})} over {{ m{cos(1 + }}{1 over {sin alpha }})}} cr
& = an alpha .{{2cos alpha – 1} over {{ m{cos}}alpha }}.{{sin alpha } over {sin alpha + 1}} = { an ^2}alpha .{{2cos alpha – 1} over {sin alpha + 1}} cr} )

(eqalign{
& {(3 + 2sqrt 3 )^2}.{{ – {2 over {sqrt {22 + 12sqrt 3 } }}} over { – {{3 + 2sqrt 3 } over {sqrt {22 + 12sqrt 3 } }} + 1}} cr
& = (21 + 12sqrt 3 ).{{2 + sqrt {22 + 12sqrt 3 } } over {3 + 2sqrt 3 – sqrt {22 + 12sqrt 3 } }} cr} )