Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:...

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) (y = {1 over {x – 2}}) trên mỗi khoảng ((-∞; 2)) và ((2; +∞))

b) y = x² – 6x + 5 trên mỗi khoảng ((-∞; 3)) và ((3; +∞))

c) y = x²⁰⁰⁵ + 1 trênn khoảng ((-∞; +∞))

Giải

a) (f(x) = {1 over {x – 2}})

+ Với x₁; x₂ ∈ ((-∞; 2)) và x₁ ≠ x₂; ta có:

 (f({x_2}) – f({x_1}) = {1 over {{x_2} – 2}} – {1 over {{x_1} – 2}} = {{{x_1} – 2 – {x_2} + 2} over {({x_1} – 2)({x_2} – 2)}})

(= {{{x_1} – {x_2}} over {({x_1} – 2)({x_2} – 2)}})

( Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {{ – 1} over {({x_1} – 2)({x_2} – 2)}} < 0) 

Vậy hàm số (y = {1 over {x – 2}}) nghịch biến trên ((-∞; 2))

+ Với x₁; x₂ ∈ ((2; +∞)) và x₁ ≠ x₂; ta có:

({{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {{ – 1} over {({x_1} – 2)({x_2} – 2)}} < 0)

Vậy hàm số (y = {1 over {x – 2}})  nghịch biến trên ((2; +∞))

Bảng biến thiên

b) f(x) = x² – 6x + 5

+ Với x₁; x₂ ∈ ((-∞; 3))  và x₁ ≠ x₂; ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² – 6x₂ + 5 – (x₁² – 6x₁ + 5)

= x₂² – x₁² + 6(x₁ – x₂) = (x₂ – x₁)(x₁  + x₂ – 6)

( Rightarrow {{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {x_1} + {x_2} – 6 < 0)  (vì x₁ < 3; x₂ < 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 nghịch biến trên ((-∞, 3)) 

+ Với x₁; x₂ ∈ ((3, +∞)) và x₁ ≠ x₂; ta có:

({{f({x_2}) – f({x_1})} over {{x_2} – {x_1}}} = {x_1} + {x_2} – 6 > 0) (vì x₁ > 3; x₂ > 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 đồng biến trên ((3;+∞)) 

Bảng biến thiên

c)

Với mọi x₁, x₂ ∈ ((-∞; +∞)) , ta có x₁ < x₂ 

(Rightarrow) x₁²⁰⁰⁵ < x₂²⁰⁰⁵

(Rightarrow)  x₁²⁰⁰⁵ + 1 < x₂²⁰⁰⁵ + 1

hay f(x₁) < f(x₂) (y = f(x) = x²⁰⁰⁵ + 1).

Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên ((-∞; +∞))