Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh:...

Bài 10. Chứng minh:

a) (sqrt {4 + 2sqrt 3 }  – sqrt {4 – 2sqrt 3 }  = 2;) 

b) ( oot 3 of {9 + sqrt {80} }  + oot 3 of {9 – sqrt {80} }  = 3)

Giải

a) Ta có (4 pm 2sqrt 3  = {left( {sqrt 3 } ight)^2} pm 2sqrt 3  + 1 = {left( {sqrt 3  pm 1} ight)^2})

nên (sqrt {4 + 2sqrt 3 }  – sqrt {4 – 2sqrt 3 }  = left( {sqrt 3  + 1} ight) – left( {sqrt 3  – 1} ight) = 2)

b) Đặt (x = oot 3 of {9 + sqrt {80} }  + oot 3 of {9 – sqrt {80} } )

Ta có ({x^3} = {left( { oot 3 of {9 + sqrt {80} }  + oot 3 of {9 – sqrt {80} } } ight)^3})

( = 9 + sqrt {80}  + 9 – sqrt {80}  + 3 oot 3 of {9 + sqrt {80} } . oot 3 of {9 – sqrt {80} } .x)

( = 18 + 3 oot 3 of {81 – 80} .x = 18 + 3x).

Do đó: ({x^3} – 3x – 18 = 0,,left( * ight))

Mà ({x^3} – 3x – 18 = left( {x – 3} ight)left( {{x^2} + 3x + 6} ight)) nên từ phương trình đã cho suy ra

x=3 (vì ({x^2} + 3x + 6 > 0,forall x))

Vậy ( oot 3 of {9 + sqrt {80} }  + oot 3 of {9 – sqrt {80} }  = 3)