Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh...

Bài 7. Chứng minh ( oot 3 of {7 + 5sqrt 2 }  + oot 3 of {7 – 5sqrt 2 }  = 2)

Giải

Đặt (x = oot 3 of {7 + 5sqrt 2 }  + oot 3 of {7 – 5sqrt 2 } ) Ta có:

({x^3} = left( { oot 3 of {7 + 5sqrt 2 }  + oot 3 of {7 – 5sqrt 2 } } ight)^3)

( = 7 + 5sqrt 2  + 7 – 5sqrt 2  + 3 oot 3 of {{{left( {7 + 5sqrt 2 } ight)}^2}} . oot 3 of {7 – 5sqrt 2 }  + 3 oot 3 of {7 + 5sqrt 2 } . oot 3 of {{{left( {7 – 5sqrt 2 } ight)}^2}} )

( = 14 – 3left( { oot 3 of {7 + 5sqrt 2 }  + oot 3 of {7 – 5sqrt 2 } } ight) = 14 – 3x).

Từ đó suy ra: ({x^3} + 3x – 14 = 0,,,,left( 1 ight))

(left( 1 ight) Leftrightarrow left( {x – 2} ight)left( {{x^2} + 2x + 7} ight) = 0 Leftrightarrow x – 2 = 0 Leftrightarrow x = 2) ( vì ({x^2} + 2x + 7 > 0))

Vậy ( oot 3 of {7 + 5sqrt 2 }  + oot 3 of {7 – 5sqrt 2 }  = 2)