Bài 10 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m

a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn các hệ thức :

x₁ + x₂ + x₁x₂=0;

m(x₁ + x₂ ) - x₁x₂ = 3m + 4

b) Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.

Đáp án

a) Đặt S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂

Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P)

(left{ matrix{
S + P = 0 hfill cr
mS - P = 3m + 4 hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
S + P = 0 hfill cr
S(m + 1) = 3m + 4,,,(1) hfill cr} ight.) 

+ Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.

+ Khi m ≠ -1, hệ (1) có một nghiệm ((S, P)  = ({{3m + 4} over {m + 1}};,{{ - 3m + 4} over {m + 1}}),,,,(2))

Vậy phương trình cần tìm là:

(eqalign{
& {x^2} - Sx + P = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} over {m + 1}}x - {{3m + 4} over {m + 1}} = 0 cr
& Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0,,,,,,,(3) cr} ) 

Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:

(eqalign{
& Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) cr&= (3m + 4)(7m + 8) ge 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
m le - {4 over 3} hfill cr
m ge - {8 over 7} hfill cr} ight.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4) cr} )

Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4).

b) Ta có:

(S = - P = {{3m + 4} over {m + 1}} Leftrightarrow left[ matrix{
m < - {4 over 3} hfill cr
m > - 1 hfill cr} ight.) 

Kết hợp với điều kiện (4) , ta suy ra:

+ Nếu

(left[ matrix{
m < - {4 over 3} hfill cr
m > - 1 hfill cr} ight.)

 thì P < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu

+ Nếu (m =  - {4 over 3}) thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0

+ Nếu ( - {8 over 7} le m < 1) thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm.

+Nếu ( - {4 over 3} < m <  - {8 over 7}) thì phương trình (3) vô nghiệm.

soanbailop6.com