Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với các số thực:

Chứng minh rằng với các số thực ({a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n}left( {n in N*} ight)), ta có

9left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} ight| le left| {{a_1}} ight| + left| {{a_2}} ight| + ... + left| {{a_n}} ight|)

Giải:   

Với n = 1 thì (left| {{a_1}} ight| = left| {{a_1}} ight|)

Với n = 2 thì (left| {{a_1} + {a_2}} ight| le left| {{a_1}} ight| + left| {{a_2}} ight|). Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc và dấu bằng xảy ra khi ({a_1},{a_2}$) cùng dấu.

Giả sử bất đẳng thức đúng với (n = k ge 2) . Đặt ({a_1} + {a_2} + ... + {a_k} = A) ta có  

(left| A ight| le left| {{a_1}} ight| + left| {{a_2}} ight| + ... + left| {{a_k}} ight|)    (1)

Mà (left| {A + {a_{k + 1}}} ight| le left| A ight| + left| {{a_{k + 1}}} ight| le left| {{a_1}} ight| + left| {{a_2}} ight| + ... + left| {{a_k}} ight| + left| {{a_{k + 1}}} ight|)

Nên (left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a _{k + 1}}} ight| le left| {{a_1}} ight| + left| {{a_2}} ight| + ... + left| {{a_k}} ight| + left| {{a_{k + 1}}} ight|), tức là bất đẳng thức đúng với (n = k + 1).