Bài 1.56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Cho hàm số  (y = {{3(x + 1)} over {x - 2}})

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .

c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Cách 1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) là:

                        y – y₀ = y’(x₀)(x – x₀)

Trong đó (y'({x_0}) = {{ - 9} over {{{({x_0} - 2)}^2}}}) . Ta có:

(y =  - {9 over {{{({x_0} - 2)}^2}}}(x - {x_0}) + {y_0})  với ({y_0} = {{3({x_0} + 1)} over {{x_0} - 2}})

Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là: 

({{9{x_0}} over {{{({x_0} - 2)}^2}}} + {{3({x_0} + 1)} over {{x_0} - 2}} = 0 Leftrightarrow left{ matrix{
{x_0} e 2 hfill cr
{x_0}^2 + 2{x_0} - 2 = 0 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow  {x_0} =  - 1 pm sqrt 3 )         

+) Với ({x_0} =  - 1 + sqrt 3 ) , ta có phương trình tiếp tuyến: (y =  - {3 over 2}(2 + sqrt 3 )x)

+) Với ({x_0} =  - 1 - sqrt 3 ) , ta có phương trình tiếp tuyến: (y =  - {3 over 2}(2 - sqrt 3 )x) .

Cách 2.

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: (y = {{3(x + 1)} over {x - 2}})  và y = kx , ta giải hệ:

(left{ matrix{
{{3(x + 1)} over {x - 2}} = kx hfill cr
- {9 over {{{(x - 2)}^2}}} = k hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{{3(x + 1)} over {x - 2}} + {{9x} over {{{(x - 2)}^2}}} = 0 hfill cr
- {{3(x + 1)} over {x - 2}} = k hfill cr} ight.)                        

Giải phương trình thứ nhất ta được: (x =  - 1 pm sqrt 3 )

Thay vào phương trình thứ hai ta có: 

   ({k_1} =  - {3 over 2}(2 + sqrt 3 );{k_2} =  - {3 over 2}(2 - sqrt 3 ))              

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: (y =  - {3 over 2}(2 + sqrt 3 )x) và (y =  - {3 over 2}(2 - sqrt 3 )x)

c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:

(y = {{3(x + 1)} over {x - 2}} Leftrightarrow  y = 3 + {9 over {x - 2}})                         

Điều kiện cần và đủ để  (M(x,y) in (C))  có tọa độ nguyên là: 

(left{ matrix{
x in Z hfill cr
{9 over {x - 2}} in Z hfill cr} ight.)

  tức (x – 2) là ước của 9.

Khi đó, x – 2 nhận các giá trị ( pm 1; pm 3; pm 9) hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.

Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là:  (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).

Sachbaitap.com