Bài 1.40 trang 40 bài tập SBT Hình học 11: Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng...

Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểmA, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng (overrightarrow {AB}  = poverrightarrow {AC} ) nếu $$overrightarrow {A’B’}  = poverrightarrow {A’C’} ) thì , trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.

Giải:

Để ý rằng

(eqalign{
& A’C{‘^2} = {k^2}A{C^2},A’B{‘^2} cr
& = {k^2}A{B^2},overrightarrow {A’C’} .overrightarrow {A’B’} cr
& = {k^2}overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} cr} )

Ta có:

({left( {overrightarrow {A’B’}  – poverrightarrow {A’C’} } ight)^2} = A’B{‘^2} – 2poverrightarrow {A’B’} .overrightarrow {A’C’}  + {p^2}A’C{‘^2})

(eqalign{
& = {k^2}left( {A{B^2} – 2poverrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} ight) cr
& = {k^2}{left( {overrightarrow {AB} – poverleftarrow {AC} } ight)^2} = 0 cr} )

Từ đó suy ra (overrightarrow {A’B’}  – poverrightarrow {A’C’}  = overrightarrow 0 )

Giả sử ba điểm (A,B,C) thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó (overrightarrow {AB}  = toverrightarrow {AC} ), với (0 < t < 1). Áp dụng bài 1.39 ta cũng có (overrightarrow {A’B}  = toverrightarrow {A’C’} ), với (0 < t < 1). Do đó ba điểm (A’,B’,C’) thẳng hàng và điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.