Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng bài toán trong hệ N điện tử tự do cho bài toán tổng quát: hệ nhiều điện tử và lỗ trống tương tác với nhau trong chấm lượng tử parabolic. Bài toán bây giờ trở nên phức tạp hơn vì ngoài tương tác giữa các điện tử với nhau còn có thêm tương tác giữa điện tử với lỗ trống và lỗ trống với lỗ trống.
Hamilton toàn phần của hệ có dạng
H
^
=
∑
i
=
1
N
h
(
r
→
i
)
+
∑
k
=
1
M
h
'
(
r
→
k
)
+
∑
i
<
j
N
e
2
ϵ
r
i
j
+
∑
k
<
l
M
e
2
ϵ
r
k
l
-
∑
i
=
1
N
∑
k
=
1
M
e
2
ϵ
r
i
k
,
h(r→i) là Hamiltonian đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường
h
(
r
→
i
)
=
-
∇
i
2
2
m
e
*
+
m
e
*
2
(
ω
e
2
+
ω
c
e
2
4
)
r
i
2
+
1
2
ω
c
e
L
^
z
i
,
với năng lượng riêng
ϵ
n
m
=
Ω
e
(
2
n
+
|
m
|
+
1
)
+
1
2
m
ω
c
e
Tương tự, đối với lỗ trống
h
'
(
r
→
k
)
=
-
∇
k
2
2
m
h
*
+
m
h
*
2
(
ω
h
2
+
ω
c
h
2
4
)
r
k
2
-
1
2
ω
c
h
L
^
z
k
,
với năng lượng riêng
ϵ
n
m
=
Ω
h
(
2
n
+
|
m
|
+
1
)
-
1
2
m
ω
c
h
.
Các kí hiệu Ωe2=ωe2+14ωce2 vµ Ωh2=ωh2+14ωch2,
ωce,ωch là tần số cyclotron của điện tử và lỗ trống,
me*,mh* là khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống,
L^z là thành phần z của toán tử momen động lượng của điện tử hoặc lỗ trống,
ϵ là hằng số điện môi.
Đơn vị chiều dài được dùng là bán kính Born hiệu dụng aB=ℏ2ϵme*e2,
đơn vị năng lượng là 2 lần năng lượng Rydberg
2Ry=me*e4ℏ2ϵ2
Hàm sóng của hệ được tìm trực tiếp từ hàm sóng của N điện tử với hàm sóng của M lỗ trống (Hàm sóng của N điện tử và hàm sóng của M lỗ trống phải có dạng phản đối xứng để chúng thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli của hệ các hạt đồng nhất).
Hàm sóng của hệ có dạmg
Ψ
(
ξ
e
1
,
...
,
ξ
e
N
,
ξ
h
1
,
...
,
ξ
h
M
)
=
|
ψ
1
(
ξ
e
1
)
,
...
,
ψ
N
(
ξ
e
N
)
|
×
|
ψ
1
(
ξ
h
1
)
,
...
,
ψ
M
(
ξ
h
M
)
|
trong đó ξ là biến số đặc trưng cho cả toạ độ và spin
Với năng lượng
E
=
∫
Ψ
*
(
ξ
e
1
,
...
,
ξ
e
N
,
ξ
h
1
,
...
,
ξ
h
M
)
H
^
Ψ
(
ξ
e
1
,
...
,
ξ
e
N
,
ξ
h
1
,
...
,
ξ
h
M
)
Các hàm ψ(ξ) thỏa mãn điền kiện trực giao chuẩn hóa
∫
ψ
i
*
(
ξ
e
i
)
ψ
j
(
ξ
e
j
)
d
ξ
e
i
d
ξ
e
j
=
δ
e
i
e
j
≡
δ
i
j
∫
ψ
¯
k
*
(
ξ
h
k
)
ψ
¯
l
(
ξ
h
l
)
d
ξ
h
k
d
ξ
h
l
=
δ
h
k
h
l
≡
δ
k
l
Hàm sóng ψ(ξ) được viết dưới dạng
ψ
i
(
ξ
e
i
)
=
ϕ
i
α
(
r
→
)
α
(
σ
)
đối
với
điện
tử
có
spin
lên
(
↑
)
ϕ
i
β
(
r
→
)
β
(
σ
)
đối
với
điện
tử
có
spin
xuống
(
↓
)
i
=
1
,
...
,
N
ψ
¯
k
(
ξ
h
k
)
=
ϕ
¯
k
α
(
r
→
)
α
(
σ
)
đối
với
lỗ
trống
có
spin
lên
(
↑
)
ϕ
¯
k
β
(
r
→
)
β
(
σ
)
đối
với
lỗ
trống
có
spin
xuống
(
↓
)
k
=
1
,
...
,
M
Thay H^ và Ψ vào biểu thức của E, tiến hành tính toán ta thu được:
E
=
∑
i
=
1
N
∫
ϕ
i
*
(
r
→
1
)
h
(
r
→
1
)
ϕ
i
(
r
→
1
)
d
(
r
→
1
)
+
∑
k
=
1
M
∫
ϕ
¯
k
*
(
r
→
1
)
h
'
(
r
→
1
)
ϕ
¯
k
(
r
→
1
)
d
(
r
→
1
)
+
1
2
∑
'
i
,
j
=
1
N
∫
|
ϕ
i
(
r
→
1
)
|
2
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
j
(
r
→
2
)
|
2
d
(
r
→
1
)
d
(
r
→
2
)
-
1
2
∑
'
i
,
j
=
1
↑
↑
N
∫
ϕ
i
*
(
r
→
1
)
ϕ
j
(
r
→
1
)
e
2
ϵ
r
12
ϕ
j
*
(
r
→
2
)
ϕ
i
(
r
→
2
)
d
(
r
→
1
)
d
(
r
→
2
)
+
1
2
∑
'
k
,
l
=
1
M
∫
|
ϕ
¯
k
(
r
→
1
)
|
2
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
l
(
r
→
2
)
|
2
d
(
r
→
1
)
d
(
r
→
2
)
-
1
2
∑
'
k
,
l
=
1
↑
↑
M
∫
ϕ
¯
k
*
(
r
→
1
)
ϕ
¯
l
(
r
→
1
)
e
2
ϵ
r
12
ϕ
¯
l
*
(
r
→
2
)
ϕ
¯
k
(
r
→
2
)
d
(
r
→
1
)
d
(
r
→
2
)
-
∑
i
=
1
N
∑
k
=
1
M
∫
|
ϕ
i
(
r
→
1
)
|
2
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
k
(
r
→
2
)
|
2
d
(
r
→
1
)
d
(
r
→
2
)
Trong đó kí hiệu ∑' là tương ứng cho các giá trị của i≠j, k≠l
Viết dưới dạng khai triển theo Nα,Nβ,Mα,Mβ với Nα,Mα,Nβ,Mβ là số điện tử và lỗ trống có spin lên (↑) và spin xuống (↓)
( Nα+Nβ=N,Mα+Mβ=M)
E
=
∑
i
=
1
N
α
ϕ
i
α
(
1
)
|
h
(
1
)
|
ϕ
i
α
(
1
)
+
1
2
∑
'
i
,
j
=
1
N
α
ϕ
i
α
(
1
)
ϕ
j
α
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
i
α
(
1
)
ϕ
j
α
(
2
)
+
∑
i
=
1
N
β
ϕ
i
β
(
1
)
|
h
(
1
)
|
ϕ
i
β
(
1
)
+
1
2
∑
'
i
,
j
=
1
N
β
ϕ
i
β
(
1
)
ϕ
j
β
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
i
β
(
1
)
ϕ
j
β
(
2
)
+
∑
k
=
1
M
α
ϕ
¯
k
α
(
1
)
|
h
'
(
1
)
|
ϕ
¯
k
α
(
1
)
+
1
2
∑
'
k
,
l
=
1
M
α
ϕ
¯
k
α
(
1
)
ϕ
¯
l
α
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
k
α
(
1
)
ϕ
l
α
(
2
)
+
∑
k
=
1
M
β
ϕ
¯
k
β
(
1
)
|
h
'
(
1
)
|
ϕ
¯
k
β
(
1
)
+
1
2
∑
'
k
,
l
=
1
M
β
ϕ
¯
k
β
(
1
)
ϕ
¯
l
β
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
k
β
(
1
)
ϕ
¯
l
β
(
2
)
+
1
2
∑
i
=
1
N
α
∑
j
=
1
N
β
ϕ
i
α
(
1
)
ϕ
j
β
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
i
α
(
1
)
ϕ
j
β
(
2
)
+
1
2
∑
i
=
1
N
β
∑
j
=
1
N
α
ϕ
i
β
(
1
)
ϕ
j
α
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
i
β
(
1
)
ϕ
j
α
(
2
)
-
1
2
∑
i
=
1
N
α
∑
j
=
1
N
α
ϕ
i
α
(
1
)
ϕ
j
α
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
j
α
(
1
)
ϕ
i
α
(
2
)
-
1
2
∑
i
=
1
N
β
∑
j
=
1
N
β
ϕ
i
β
(
1
)
ϕ
j
β
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
j
β
(
1
)
ϕ
i
β
(
2
)
+
1
2
∑
k
=
1
M
α
∑
l
=
1
M
β
ϕ
¯
k
α
(
1
)
ϕ
¯
l
β
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
k
α
(
1
)
ϕ
¯
l
β
(
2
)
+
1
2
∑
k
=
1
M
β
∑
l
=
1
M
α
ϕ
¯
k
β
(
1
)
ϕ
¯
l
α
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
k
β
(
1
)
ϕ
¯
l
α
(
2
)
-
1
2
∑
k
=
1
M
α
∑
l
=
1
M
α
ϕ
¯
k
α
(
1
)
ϕ
¯
l
α
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
l
α
(
1
)
ϕ
¯
k
α
(
2
)
-
1
2
∑
k
=
1
M
β
∑
l
=
1
M
β
ϕ
¯
k
β
(
1
)
ϕ
¯
l
β
(
2
)
|
e
2
ϵ
r
12
|
ϕ
¯
l
β
(
1
)
ϕ
¯
k
β
(
2
)
