Câu 48 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và tạo với nhau góc α. Xét hai điểm M và N lần lượt thuộc (P) và (Q). Kẻ MI vuông góc với ∆, NJ vuông góc với ∆. Cho biết (MI = a,NJ = b,IJ = c). Tính độ dài MN.

Trả lời

 

Trong mp(Q), kẻ qua I đường thẳng song song với JN và kẻ qua N đường thẳng song song với IJ, chúng cắt nhau tại K.

Dễ thấy (MI ot NK), tứ giác IJNK là hình chữ nhật.

Như vậy (MI ot NK,IK ot KN), từ đó (MK ot KN), ngoài ra IK = b, NK = c.

Vì MI và IK cũng vuông góc với IJ.

Vậy (widehat {MIK}) hoặc ({180^0} - widehat {MIK}) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có:

(eqalign{  & M{N^2} = M{K^2} + K{N^2} = M{K^2} + {c^2};  cr  & M{K^2} = {a^2} + {b^2} - 2abcos widehat {MIK} cr} )

Vậy (MN = sqrt {{a^2} + {b^2} - 2{ m{a}}bcos widehat {MIK} + {c^2}} )

hoặc (MN = sqrt {{a^2} + {b^2} + 2{ m{a}}bcos widehat {MIK} + {c^2}} ).

Sachbaitap.com