16/05/2018, 16:03

Câu 47 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập ...

Giải bài tập

Cho tam giác cân ABC, (AB = AC = a,widehat {BAC} = {120^0}). Xét hai tia cùng chiều Bt, Ct’ và vuông góc với mp(ABC). Lấy điểm B’ thuộc Bt, C’ thuộc Ct’ sao cho BB’ = 3CC’ và (C’ ≢ C).

a) Chứng minh rằng giao tuyến của mp(ABC) và mp(AB’C’) cố định khi B’. C’ thay đổi.

b) Khi BB’ = a, tính góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (ABC), tính diện tích tam giác AB’C’.

Trả lời

 

a) Vì BB’ = 3CC’ nên đường thẳng B’C’ cắt BC tại điểm I thì (BI = {3 over 2}BC).

Như vậy I là điểm cố định, mặt khác giao tuyến của mp(AB’C’) và mp(ABC) là AI. Như vậy, khi B’, C’ thay đổi thì giao tuyến của mp(AB’C’) và mp(ABC) là đường thẳng AI cố định.

b) Khi BB’ = a thì (CC' = {a over 3})

Dễ thấy: (BC = asqrt 3 )

Do (CC' = {1 over 2}BC)

nên (CI = {{asqrt 3 } over 2})

Ta có: (AJ = {a over 2}left( {AJ ot BC,J in BC} ight)) và (IJ = asqrt 3 ).

Kẻ (CK ot AI), do (C'C ot left( {ABC} ight)) nên (C'K ot AI).

Vậy (widehat {CKC'}) là góc giữa mp(AB’C’) và mp(ABC).

Ta có:

(eqalign{  & {{CK} over {AJ}} = {{CI} over {AI}};  cr  & A{I^2} = A{J^2} + J{I^2} = {{{a^2}} over 4} + 3{a^2} = {{13{a^2}} over 4} cr} )

nên (AI = {{asqrt {13} } over 2})

Từ đó (CK = {a over 2}.{{asqrt 3 } over 2}.{2 over {asqrt {13} }} = {{asqrt 3 } over {2sqrt {13} }})

Đặt (widehat {CKC'} = varphi ) thì ( an varphi  = {{CC'} over {CK}} = {a over 3}.{{2sqrt {13} } over {asqrt 3 }} Leftrightarrow an varphi  = {{2sqrt {39} } over 9})

Như thế góc giữa mp(AB’C’) và mp(ABC) là φ mà ( an varphi  = {{2sqrt {39} } over 9}) .

Tam giác AB’C’ có hình chiếu trên mp(ABC) là tam giác ABC mà ({S_{ABC}} = {{{a^2}sqrt 3 } over 4}).

Vậy ({S_{AB'C'}} = {{{S_{ABC}}} over {cos varphi }} = {{{a^2}sqrt {79} } over {12}})

(Tính cosφ nhờ ( an varphi  = {{2sqrt {39} } over 9}) được (cosvarphi  = {{3sqrt 3 } over {sqrt {79} }}))

Sachbaitap.com

0