16/05/2018, 16:05

Câu 41 trang 122 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập ...

Giải bài tập

Cho tứ diện SABC, hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau và có SA vuông góc với mp(ABC), (SB = asqrt 2 ,widehat {B{ m{S}}C} = {45^0},widehat {ASB} = alpha ).

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với SB. Tìm điểm cách đều các điểm S, A, B, C.

b) Xác định α để hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60°.

Trả lời

a) Vì

(eqalign{  & left( {ABC} ight) ot left( {SAB} ight)  cr  & left( {SBC} ight) ot left( {SAB} ight) cr} )

mà (BC = left( {ABC} ight) cap left( {SBC} ight)) nên (BC ot left( {SAB} ight) Rightarrow BC ot SB).

Như vậy, tứ diện SABC có (widehat {SAC} = {90^0}) và (widehat {SBC} = {90^0}) nên điểm cách đều S, A, B, C là trung điểm của SC.

Chú ý. Có thể chứng minh (BC ot SB) như sau:

Kẻ (A{B_1} ot SB) do (left( {SAB} ight) ot left( {SBC} ight)) nên (A{B_1} ot left( {SBC} ight))

( Rightarrow A{B_1} ot BC)

mặt khác (BC ot SA)

(eqalign{  &  Rightarrow BC ot left( {SAB} ight)  cr  &  Rightarrow BC ot SB cr} )

b) Kẻ (A{B_1} ot SB,A{C_1} ot SC), dễ chứng minh được

(A{B_1} ot left( {SBC} ight)) và (left( {A{B_1}{C_1}} ight) ot SC).

Từ đó (widehat {A{C_1}{B_1}}) là góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB).

Xét ∆AB1C1 ta có (A{B_1} = {B_1}{C_1} an {60^0})

mà (A{B_1} = S{B_1} an alpha ,{B_1}{C_1} = S{B_1}sin {45^0}).

Vậy hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) tạo với nhau góc 60° khi và chỉ khi

(S{B_1} an alpha  = S{B_1}.{{sqrt 2 } over 2}.sqrt 3  Leftrightarrow an alpha  = {{sqrt 6 } over 2}).

Hệ thức này xác định α.

Sachbaitap.com

0