Ước số chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của a và b được ký hiệu là ƯCLN(a, b), hay đơn giản hơn là (a, b). Chẳng hạn, ƯCLN(12, 18) = 6, ƯCLN(−4, 14) = 2 and ƯCLN(5, 0) = 5. Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là nguyên tố cùng nhau.

Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng phân số tối giản. Chẳng hạn, ƯCLN(42, 56)=14, do đó,

* Mọi ước chung của a và b là ước của ƯCLN(a, b).

* ƯCLN(a, b), khi a và b không bằng không cả hai, có thể được định nghĩa tương đương như số nguyên dương d nhỏ nhất có dạng d = a·p + b·q trong đó p và q là các số nguyên. Định lý bày đựoc gọi là đẳng thức Bézout. Các số p và q có thể tính nhờ Giải thuật Euclid mở rộng.

* ƯCLN(a, 0) = |a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác không bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là |a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.

* Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.

* Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(m·a, m·b) = m·ƯCLN(a, b).

* Nếu m là số nguyên bất kỳ , thì ƯCLN(a + m·b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.

* ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu a1 và a2 là nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1·a2, b) = ƯCLN(a1, b)·ƯCLN (a2, b).

* ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).

* ƯCLN là hàm kết hợp : ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).

* ƯCLN của ba số được tính nhờ công thức ƯCLN(a, b, c) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c), (hoặc vế kia của tính chất kết hợp. Điều này có thể mở rộng cho số bất kỳ các số nguyên.

* ƯCLN (a, b) quan hệ chặt chẽ với BCNN(a, b): ta có

ƯCLN(a, b)·BCNN(a, b) = a·b.

Công thức này thường được dùng để tính BCNN. Dạng khác của mói quan hệ này là tính chất phân phối:

(a, b), ƯCLN(a, c))

BCNN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(BCNN(a, b), BCNN(a, c)).

* Nếu sử dụng định nghĩa ƯCLN(0, 0) = 0 và BCNN(0, 0) = 0 thì khi đó tập các số tự nhiên trở thành một dàn đầy đủ phân phối với ƯCLN.

* Trong Hệ tọa độ Descartes, ƯCLN(a, b) biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (a, b), trừ chính điểm (0, 0).

ƯCLN của hai số có thể tìm được bằng việc phân tích hai số đó ra thừa số nguyên tố, chẳng hạn để tìm ƯCLN(18,84), ta phân tích 18 = 2·32 và 84 = 22·3·7 và nhận xét rằng các thừa số chung lớn nhất của hai số này là 2·3; do đó ƯCLN(18,84) = 6. Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ; việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian.

Một phương pháp hiệu quả là giải thuật Euclid dựa trên dãy liên tiếp các phép chia có dư.

Nếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a vàb có thể tính qua bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b:

* Cách tìm ƯCLN trong lập trình C# :

static int USCLN(int a, int b)
    { 
    a=Math.Abs(a); 
    b=Math.Abs(b); 
    if (a==0 ||b==0)
    return a+b;
    while (a !=b)
    {
    if(a>b)
    a=a-b;
    else
    b=b-a;
    }
    return a;
    }