Ứng dụng A* để giải bài toán Ta-canh

Bài toán Ta-canh đã từng là một trò chơi khá phổ biến, đôi lúc người ta còn gọi đây là bài toán 9-puzzle. Trò chơi bao gồm một hình vuông kích thứơc 3x3 ô. Có 8 ô có số, mỗi ô có một số từ 1 đến 8. Một ô còn trống. Mỗi lần di chuyển chỉ được di chuyển một ô nằm cạnh ô trống về phía ô trống. Vấn đề là từ một trạng thái ban đầu bất kỳ, làm sao đưa được về trạng thái cuối là trạng thái mà các ô được sắp lần lượt từ 1 đến 8 theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới, ô cuối dùng là ô trống.

Cho đến nay, ngoại trừ 2 giải pháp vét cạn và tìm kiếm Heuristic, người ta vẫn chưa tìm được một thuật toán chính xác, tối ưu để giải bài toán này. Tuy nhiên, cách giải theo thuật giải A^* lại khá đơn giản và thường tìm được lời giải (nhưng không phải lúc nào cũng tìm được lời giải). Nhận xét rằng: Tại mỗi thời điểm ta chỉ có tối đa 4 ô có thể di chuyển. Vấn đề là tại thời điểm đó, ta sẽ chọn lựa di chuyển ô nào? Chẳng hạn ở hình trên, ta nên di chuyển (1), (2), (6), hay (7) ? Bài toán này hoàn toàn có cấu trúc thích hợp để có thể giải bằng A* (tổng số trạng thái có thể có của bàn cờ là n²! với n là kích thước bàn cờ vì mỗi trạng thái là một hoán vị của tập n² con số).

Tại một trạng thái đang xét Tk, đặt d(i,j)là số ô cần di chuyển để đưa con số ở ô (i,j) về đúng vị trí của nó ở trạng thái đích.

Hàm ước lượng h’ tại trạng thái Tk bất kỳ bằng tổng của các d(i,j) sao cho vị trí (i,j) không phải là ô trống.

Như vậy đối với trạng thái ở hình ban đầu, hàm f(Tk) sẽ có giá trị là

Fk=2+1+3+1+0+1+2+2=12

Chúng ta đã biết qua 4 kiểu tìm kiếm : leo đèo (LĐ), tìm theo chiều sâu (MC), tìm theo chiều rộng (BR) và tìm kiếm BFS. Bốn kiểu tìm kiếm này có thể được xem như 4 thái cực của không gian liên tục bao gồm các chiến lược tìm kiếm khác nhau. Để giải thích điều này rõ hơn, sẽ tiện hơn cho chúng ta nếu nhìn một chiến lược tìm kiếm lời giải dưới hai chiều sau :

Chiều khả năng quay lui (R): là khả năng cho phép quay lại để xem xét những trạng thái xét đến trước đó nếu gặp một trạng thái không thể đi tiếp.

Chiều phạm vi của sự đánh giá (S): số các trạng thái xét đến trong mỗi quyết định.

Hình : Tương quan giữa các chiến lược leo đèo, quay lui và tốt nhất

Theo hướng R, chúng ta thấy leo đèo nằm ở một thái cực (nó không cho phép quay lại những trạng thái chưa được xét đến), trong khi đó tìm kiếm quay lui và BFS ở một thái cực khác (cho phép quay lại tất cả các hướng đi chưa xét đến). Theo hướng S chúng ta thấy leo đèo và lần ngược nằm ở một thái cực (chỉ tập trung vào một phạm vi hẹp trên tập các trạng thái mới tạo ra từ trạng thái hiện tại) và BFS nằm ở một thái cực khác (trong khi BF xem xét toàn bộ tập các con đường đã có, bao gồm cả những con đường mới được tạo ra cũng như tất cả những con đường không được xét tới trước đây trước mỗi một quyết định).

Những thái cực này được trực quan hóa bằng hình ở trên. Vùng in đậm biểu diễn một mặt phẳng liên tục các chiến lược tìm kiếm mà nó kết hợp một số đặc điểm của một trong ba thái cực (leo đèo, chiều sâu, BFS) để có được một hòa hợp các đặc tính tính toán của chúng.

Nếu chúng ta không đủ bộ nhớ cần thiết để áp dụng thuật toán BFS thuần túy. Ta có thể kết hợp BFS với tìm theo chiều sâu để giảm bớt yêu cầu bộ nhớ. Dĩ nhiên, cái giá mà ta phải trả là số lượng các trạng thái có thể xét đến tại một bước sẽ nhỏ đi. Một loại kết hợp như thế được chỉ ra trong hình dưới. Trong hình này, thuật giải BFS được áp dụng tại đỉnh của đồ thị tìm kiếm (biểu diễn bằng vùng tô tậm) và tìm kiếm theo chiều sâu được áp dụng tại đáy (biểu diễn bởi tam giác tô nhạt). Đầu tiên ta áp dụng BFS vào trạng thái ban đầu T₀ một cách bình thường. BFS sẽ thi hành cho đến một lúc nào đó, số lượng trạng thái được lưu trữ chiếm dụng một không gian bộ nhớ vượt quá một mức cho phép nào đó. Đến lúc này, ta sẽ áp dụng tìm kiếm chiều sâu xuất phát từ trạng thái tốt nhất Tmax trong OPEN cho tới khi toàn bộ không gian con phía "dưới" trạng thái đó được duyệt hết. Nếu không tìm thấy kết quả, trạng thái Tmax này được ghi nhận là không dẫn đến kết quả và ta lại chọn ra trạng thái tốt thứ hai trong OPEN và lại áp dụng tìm kiếm chiều sâu cho cho phần không gian phía "dưới" trạng thái này....

Hình : Chiến lược lai BFS-MC trong đó, BFS áp dụng tại đỉnh và MC tại đáy.

Một cách kết hợp khác là dùng tìm kiếm chiều sâu tại đỉnh không gian tìm kiếm và BFS được dùng tại đáy. Chúng ta áp dụng tìm kiếm chiều sâu cho tới khi gặp một trạng thái Tk mà độ sâu (số trạng thái trung gian) của nó vượt quá một ngưỡng d₀ nào đó. Tại điểm này, thay vì lần ngược trở lại, ta áp dụng kiểu tìm kiếm BFS cho phần không gian phía "dưới" bắt đầu từ Tk cho tới khi nó trả về một giải pháp hoặc không tìm thấy. Nếu nó không tìm thấy kết quả, chúng ta lần ngược trở lại và lại dùng BFS khi đạt độ sâu d₀. Tham số d₀ sẽ được chọn sao cho bộ nhớ dùng cho tìm kiếm BFS trên không gian "dưới" mức d₀ sẽ không vượt quá một hằng số cho trước. Rõ ràng ta ta không dễ gì xác định được d₀ (vì nói chung, ta khó đánh giá được không gian bài toán rộng đến mức nào). Tuy nhiên, kiểu kết hợp này lại có một thuận lợi. Phần đáy không gian tìm kiếm thường chứa nhiều thông tin "bổ ích" hơn là phần đỉnh. (Chẳng hạn, tìm đường đi đến khu trung tâm của thành phố, khi càng đến gần khu trung tâm – đáy đồ thị – bạn càng dễ dàng tiến đến trung tâm hơn vì có nhiều "dấu hiệu" của trung tâm xuất hiện xung quanh bạn!). Nghĩa là, càng tiến về phía đáy của không gian tìm kiếm, ước lượng h’ thường càng trở nên chính xác hơn và do đó, càng dễ dẫn ta đến kết quả hơn.

Hình : Chiến lược lai BFS-MC trong đó, MC áp dụng tại đỉnh và BFS tại đáy.

Còn một kiểu kết hợp phức tạp hơn nữa. Trong đó, BFS được thực hiện cục bộ và chiều sâu được thực hiện toàn cục. Ta bắt đầu tìm kiếm theo BFS cho tới khi một sự lượng bộ nhớ xác định M₀ được dùng hết. Tại điểm này, chúng ta xem tất cả những trạng thái trong OPEN như những trạng thái con trực tiếp của trạng thái ban đầu và chuyển giao chúng cho tìm kiếm chiều sâu. Tìm kiếm chiều sâu sẽ chọn trạng thái tốt nhất trong những trạng thái con này và "bành trướng" nó dùng BFS, nghĩa là nó chuyển trạng thái đã chọn cho tìm kiếm BFS cục bộ cho đến khi một lượng bộ nhớ M₀ lại được dùng hết và trạng thái con mới trong OPEN lại tiếp tục được xem như nút con của nút "bành trướng"...Nếu việc "bành trướng" bằng BFS thất bại thì ta quay lui lại và chọn nút con tốt thứ hai của tập OPEN trước đó, rồi lại tiếp tục bành trướng bằng BFS...

Hình : Chiến lược lai BFS-MC trong đó, BFS được áp dụng cục bộ và chiều sâu được áp dụng toàn cục.

Có một cách phối hợp nổi tiếng khác được gọi là tìm kiếm theo giai đoạn được thực hiện như sau. Thay vì lưu trữ trong bộ nhớ toàn bộ cây tìm kiếm được sinh ra bởi BFS, ta chỉ giữ lại cây con có triển vọng nhất. Khi một lượng bộ nhớ M₀ được dùng hết, ta sẽ đánh dấu một tập con các trạng thái trong OPEN (những trạng thái có giá trị hàm f thấp nhất) để giữ lại; những đường đi tốt nhất qua những trạng thái này cũng sẽ được ghi nhớ và tất cả phần còn lại của cây bị loại bỏ. Quá trình tìm kiếm sau đó sẽ tiếp tục theo BFS cho tới khi một lượng bộ nhớ M₀ lại được dùng hết và cứ thế. Chiến lược này có thể được xem như là một sự lai ghép giữa BF và leo đèo. Trong đó, leo đèo thuần túy loại bỏ tất cả nhưng chỉ giữ lại phương án tốt nhất còn tìm kiếm theo giai đoạn loại bỏ tất cả nhưng chỉ giữ lại tập các phương án tốt nhất.