trương hợp tổng quat

phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát

ta có thể thấy ngay phương trình mạch điện đơn giản trong trường hợp tổng quát có dạng:

(4.4)

trong đó y chính là biến số, hiệu thế v hoặc dòng điện i trong mạch, p là hằng số tùy thuộc các phần tử r, l, c và q tùy thuộc nguồn kích thích, có thể là hằng số hay một hàm theo t.

ta có thể tìm lời giải tổng quát cho phương trình (4.4) bằng phương pháp thừa số tích phân: nhân 2 vế phương trình với một thừa số sao cho vế thứ nhất là đạo hàm của một hàm và sau đó lấy tích phân 2 vế

nhân 2 vế của (4.4) với e^pt

(4.5)

vê 1 của phương trình chính là ddt(yept) size 12{ { {d} over {"dt"} } ( "ye" rSup { size 8{"pt"} } ) } {} và (4.5) trở thành:

(4.6)

lấy tích phân 2 vế:

(4.7)

biểu thức (4.5) đúng cho trường hợp q là hằng số hay một hàm theo t.

trường hợp q là hằng số ta có kết quả:

(4.8)

đáp ứng cũng thể hiện rõ 2 thành phần :

- đáp ứng tự nhiên y_n=ae^-pt và

- đáp ứng ép y_f = q/p.

so sánh với các kết quả phần 4.1 ta thấy thời hằng là 1/p

thí dụ 4.2

tìm i₂ của mạch (h 4.9) khi t>0, cho i₂(0)=1 a

(h 4.9)

viết phương trình vòng cho mạch

loại i₁ trong các phương trình ta được:

(3)

dùng kết quả (4.6)

(4)

xác định a:

cho t=0 trong (4) và dùng điều kiện đầu i₂(0)=1 a

một phương pháp ngắn gọn

dưới đây giới thiệu một phương pháp ngắn gọn để giải nhanh các mạch bậc 1 không chứa nguồn phụ thuộc.

lấy lại thí dụ 4.2.

lời giải i₂ có thể viết: i₂ = i_2n + i_2f

- để xác định i_2n, ta xem mạch như không chứa nguồn (h 4.10a)

điện trở tương đương nhìn từ cuộn dây gồm 2 điện trở 4ôm mắc song song (=2ôm), nối tiếp với 8ôm, nên r_tđ = 2ôm+8ôm = 10ôm

(a) (b)

(h 4.10)

và

- đáp ứng ép là hằng số, nó không tùy thuộc thời gian, vậy ta xét mạch ở trạng thái thường trực, cuộn dây tương đương mạch nối tắt (h 4.10b).

điện trở tương đương của mạch:

vậy (a) và a được xác định từ điều kiện đầu như trước đây.

thí dụ 4.3

tìm i(t) của mạch (h 4.11) khi t>0, cho v(0)=24 v

(h 4.11)

ta có

i = i_n + i_f

° để xác định i_n ta lưu ý nó có cùng dạng của hiệu thế v ở 2 đầu tụ điện.

thật vậy, tất cả các đáp ứng tự nhiên khác nhau trong một mạch thì liên hệ với nhau qua các phép toán cộng, trừ, vi tích phân; các phép toán này không làm thay đổi giá trị trên mũ mà nó chỉ làm thay đổi các hệ số của hàm mũ.

thời hằng của mạch là:

t=rc=10x0,02=0,2 s

i_n =ae^-5t

ơ trạng thái thường trực, tụ điện tương đương mach hở:

i_f = i = 1a

vậy i(t) =ae^-5t + 1 (a)

để xác định a, ta phải xác định i(0₊)

viết phương trình cho vòng bên phải

vậy i(t) =2e^-5t + 1 (a)

thí dụ 4.4

xác định i(t) và v(t) trong mạch (h 4.12a) khi t>0. biết rằng mạch đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa k hở.

(h 4.12a)

(h 4.12b)

ơ trạng thái thường trực (t=0-), tụ điện tương mạch hở và cuộn dây là mạch nôi tắt. hiệu thế 2 đầu tụ là hiệu thế 2 đầu điện trở 20ôm và dòng điện qua cuộn dây chính là dòng qua điện trở 15ôm

dùng cầu chia dòng điện xác định dễ dàng các giá trị này:

i(0-)=2a và v(0-) = 60 v

khi đóng khóa k, ta đã nối tắt 2 nút a và b (h 4.12b).

mạch chia thành 2 phần độc lập với nhau, mỗi phần có thể được giải riêng.

* phần bên trái ab chứa cuộn dây là mạch không chứa nguồn:

i(t) = ae^-15t (a)

với

i(t) = 2e^-15t (a)

* phần bên phải ab là mạch có chứa nguồn 6a và tụ .15f

hiệu thế v(t) có thể xác định dễ dàng bằng phương pháp ngắn gọn:

v(t) = 20e^-t+40 (v)