Trạng thái của hệ thống

Trong các chương trước, ta đã khảo sát vài phương pháp thông dụng để phân giải các hệ tự kiểm. Phép biến đổi Laplace đã được dùng để chuyển các phương trình vi phân mô tả hệ thống thành các phương trình đại số theo biến phức S. Dùng phương trình đại số này ta có thể tìm được hàm chuyển mô tả tương quan nhân quả giữa ngõ vào và ngõ ra.

Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống trong miền tần số, với biến phức, dù là kỹ thuật rất thông dụng trong tự động học, nhưng có rất nhiều giới hạn. Sự bất lợi lớn nhất, đó là các điều kiện đầu bị bỏ qua. Hơn nữa, phương pháp ấy chỉ được áp dụng cho các hệ tuyến tính, không đổi theo thời gian. Và nó đặc biệt bị giới hạn khi dùng để phân giải các hệ đa biến.

Ngày nay, với sự phát triển của máy tính, các điều khiển thường được phân giải trong miền thời gian. Và vì vậy, cần thiết phải có một phương pháp khác để đặc trưng hóa cho hệ thống.

Phương pháp mới, là sự dùng”biến số trạng thái” (state variable) để đặc trưng cho hệ thống. Một hệ thống có thể được phân giải và thiết kế dựa vào một tập hợp các phương trình vi phân cấp một sẽ tiện lợi hơn so với một phương trình độc nhất cấp cao. Vấn đề sẽ được đơn giản hóa rất nhiều và thật tiện lợi nếu dùng máy tính để giải.

Giả sử một tập hợp các biến x1(t), x2(t)...xn(t) được chọn để mô tả trạng thái động của hệ thống tại bất kỳ thời điểm cho sẳn t=t­­0 nào, các biến này mô tả hoàn toàn trạng thái quá khứ ( past history ) của hệ cho đến thời điểm t­0. Nghĩa là các biến x1(t0), x2(t0) . . . xn(t0), xác định trạng thái đầu của hệ tại t=t0. Vậy khi có những tín hiệu vào tại t >= t0 được chỉ rõ, thì trạng thái tương lai của hệ thống sẽ hoàn toàn được xác định .

Vậy, một cách vật lý, biến trạng thái của một hệ tuyến tính có thể được định nghĩa như là một tập hợp nhỏ nhất các biến x1(t),x2(t),... xn(t), sao cho sự hiểu biết các biến này tại thời điểm t0 bất kỳ nào cộng thêm dữ kiện về sự kích thích (excitation) ở ngõ vào được áp dụng theo sau, thì đủ để xác định trạng thái của hệ tại bất kỳ thời điểm t >=t0 nào.

Hình 4_1

x1(t),x2(t) . . . xn(t)là các biến trạng thái .

r1(t),r2(t) . . . rp(t) là các tín hiệu vào.

c1(t),c2(t) . . . cq(t) là các tín hiệu ra.

Cái ngắt điện, có lẽ là một thí dụ đơn giản nhất về biến trạng thái. Ngắt điện có thể ở vị trí hoặc ON hoặc OFF, vậy trạng thái của nó có thể là một trong hai trị giá khả hữu đó. Nên, nếu ta biết trạng thái hiện tại (vị trí) của ngắt điện tại t0 và nếu có một tín hiệu đặt ở ngõ vào, ta sẽ có thể xác định được trị giá tương lai trạng thái của nó.

Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyến tính với p input và q output. Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởi tập hợp sau đây của n phương trình vi phân cấp 1, gọi là những phương trình trạng thái.

dxitdt=fix1(t),x2(t), ... ,xn(t), r1(t),r2(t), ... ,rp(t) size 12{ { { size 13{d} size 14{x rSub { size 8{ size 10{i}} } left ( size 12{t} right )}} over { size 12{"dt"} } } size 12{``=`` { size 24{f} } rSub { size 8{i} } left [`x rSub { size 8{ size 9{1}} } ( t ) ,```x rSub { size 9{2}} size 12{ ( t ) ital ", " "." "." "." ital " ,"`x rSub { size 8{ size 10{n}} } ( t ) ital ", r" rSub { size 9{`1}} } size 12{` ( t ) ,```r rSub { size 8{ size 10{2}} } ( t ) ital ", " "." "." "." ital " ,"```r rSub { size 9{p}} } size 12{ ( t ) } right ]}} {} (4.1)

(i=1,2, … ,n)

Trong đó : x1(t) size 12{ size 14{x rSub { size 10{1}} } ( t ) } {}, x2(t) size 12{ size 14{x rSub { size 10{2}} } ( t ) } {}, … , xn(t) size 12{ size 14{x rSub { size 10{n}} } ( t ) } {} là các biến trạng thái

r1(t) size 12{ size 14{r rSub { size 10{1}} } ( t ) } {}., r2(t) size 12{ size 14{r rSub { size 10{2}} } ( t ) } {}, … , rp(t) size 12{ size 14{r rSub { size 10{p}} } ( t ) } {} là các input

fi size 12{f rSub { size 8{ size 9{i}} } } {} : hàm tuyến tính thứ i.

Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và các input qua biểu thức sau.

Ckt=gkx1(t),x2(t), ... ,xn(t), r1(t),r2(t), ... ,rp(t) size 12{C rSub { size 8{ size 10{k}} } left (t right )``=`` size 14{g rSub { size 8{ size 10{k}} } } size 12{ left [`x rSub { size 8{ size 9{1}} } ( t ) ,``x rSub { size 9{2}} size 12{ ( t ) ital ", " "." "." "." ital " ,"``x rSub { size 8{ size 10{n}} } ( t ) ital ", "``r rSub { size 9{1}} } size 12{ ( t ) ,``r rSub { size 8{ size 10{2}} } ( t ) ital ", " "." "." "." ital " ,"``r rSub { size 9{p}} } size 12{ ( t ) } right ]}} {} (4.2)

(k =1,2, … ,q)

gk size 12{ size 14{g rSub { size 8{ size 10{k}} } }} {} : hàm tuyến tính thứ k .

Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phương trình trạng thái và phương trình output gọi chung là các phương trình động của hệ.

Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một output được mô tả bởi phương trình vi phân :

d3c(t)dt3+2d2c(t)dt2+3dc(t)dt+C(t)=2r(t) size 12{ { {d rSup { size 8{3} } c ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{3} } } } +2 { {d rSup { size 8{2} } c ( t ) } over { ital "dt" rSup { size 8{2} } } } +3 { { ital "dc" ( t ) } over { ital "dt"} } +C ( t ) = size 13{2} size 14{r} ( t ) } {} (4.3)

C(t) size 12{C ( t ) } {} : output ; r(t) size 12{ size 15{r} ( t ) } {}: input.

• Hàm chuyển mô tả hệ thống dễ dàng có được bằng cách lấy biến đổi Laplace ở hai vế, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0.

CSRS=2S3+2S2+3S+1 size 12{ { {C left (S right )} over {R left (S right )} } = { {2} over {S rSup { size 8{3} } +2S rSup { size 8{2} } +3S+1} } } {} (4.4)

• Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống còn có thể mô tả bởi một tập hợp các phương trình động như sau :

Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái

x1t=Ct size 12{x rSub { size 8{1} } left (t right )=C left (t right )} {} (4.5) phương trình output

Phương trình trạng thái x2t=x˙1t=C˙t size 12{x rSub { size 8{2} } left (t right )= { dot {x}} rSub { size 8{1} } left (t right )= { dot {C}} left (t right )} {} (4.6)

x3t=˙x2t=C˙t size 12{ size 14{x rSub { size 8{3} } left ( size 12{t} right )} size 12{ {}= { dot {}x}} rSub { size 8{2} } left ( size 12{t} right ) size 12{ {}= { dot {C}} left (t right )}} {} (4.7 )

Trong đó x1˙=dx1dt size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{1}} }= { { ital "dx" rSub { size 10{1}} } over { ital "dt"} } } {} và x2˙=dx2dt size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{2}} }= { { ital "dx" rSub { size 10{2}} } over { ital "dt"} } } {} .

C ˙ = dc dt size 12{ { dot { size 14{C}}} size 15{ {}= { { ital "dc"} over { ital "dt"} } }} {}

Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao nhất ở vế trái:

C⋯t=−2c¨t−3˙ct−ct+2rt size 12{ { dddot {C}} left (t right )``= - 2` { ddot { size 15{c}} left (t right ) - 3` { dot {} size 15{c}} left (t right ) - } size 15{c left (t right )+2`} size 15{r left (t right )}} {} (4.8)

Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức định nghĩa của biến trạng thái vào 4.8 . Ta sẽ có những phương trình trạng thái:

x1˙t=x2t size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{1}} left (t right )=x rSub { size 10{2}} left (t right )}} {} (4.9a)

x2˙t=x3t size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{2}} left (t right )=x rSub { size 10{3}} left (t right )}} {} (4.9b)

x3˙t=−x1t−3x2t−2x3t+2rt size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{3}} left (t right )= - x rSub { size 10{1}} left (t right ) - 3x rSub { size 10{2}} left (t right ) - 2x rSub { size 10{3}} left (t right )+2r left (t right )}} {} (4.9c)

Chỉ có phương trình (4.9c) là tương đương phương trình ban đầu (4.3). còn hai phương trình kia chỉ là phương trình định nghĩa biến trạng thái.

Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa như là biến trạng thái x1(t), (không phải luôn luôn như vậy). Vậy phương trình (4.5) là phương trình output.

Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mô tả ở trên, thì phương trình vi phân cấp n:

+anct=rt+...+an−1dctdt+a1dn−1ctdtn−1dnctdtn size 12{ { { size 14{d rSup { size 8{ size 10{n}} } } size 10{c left (t right )}} over { size 12{ size 14{ ital "dt" rSup { size 8{ size 10{n}} } }} } } size 12{+} size 14{a rSub { size 8{ size 10{1}} } { { size 12{d rSup { size 8{ size 10{n - 1}} } size 10{c left (t right )}} } over { size 12{ ital "dt" rSup { size 8{ size 10{n - 1}} } } } } } size 12{+ "." "." "." +}a rSub { size 8{ size 10{n - 1}} } { { size 12{ ital "dc" left ( size 10{t} right )} } over { size 12{ ital "dt"} } } size 12{+}a rSub { size 8{ size 10{n}} } size 12{c left (t right )=}r left ( size 12{t} right )} {} (4.10)

Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau :

x1˙t=x2tx2˙t=x3t⋮⋮xn−1˙t=xntx˙nt=−anx1t−an−1x2t−⋯−a2xn−1t−a1x1t+rtalignl { stack { size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{1}} left (t right )=x rSub { size 10{2}} left (t right )}} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 10{2}} left (t right )=x rSub { size 10{3}} left (t right )}} {} # size 12{ size 15{" " dotsvert " " dotsvert " "}} {} # { dot { size 15{x}} rSub { size 10{n - 1}} left (t right )=x rSub { size 10{n}} left (t right ) } {} # size 12{ { dot {x}} rSub { size 10{n}} left (t right )= - a rSub {n} x rSub { size 10{1}} left (t right ) - a rSub { size 10{n - 1}} x rSub { size 10{2}} left (t right ) - dotsaxis - a rSub { size 10{2}} x rSub { size 10{n - 1}} left (t right ) - a rSub { size 10{1}} x rSub { size 10{1}} left (t right )+r left (t right )} {} } } {}( 4.11)

Và phương trình output giản dị là :

Ct=x1t size 12{C left (t right )= size 16{x rSub { size 10{1}} left (t right )}} {} (4.12)

Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mô tả ở trên không thích hợp khi vế phải của (4.10) có chứa những đạo hàm của r(t).

(4.13) dnctdtn+a1dn−1ctdtn−1+⋯+an−1dctdt+anct=b0dnrtdtn+b1dn−1rtdtn−1+⋯⋯+bn−1drtdt+bnrtalignl { stack { size 12{ { {d rSup { size 8{n} } c left (t right )} over {"dt" rSup { size 8{n} } } } +a rSub { size 8{1} } { {d rSup { size 8{n - 1} } c left (t right )} over {"dt" rSup { size 8{n - 1} } } } + dotsaxis +a rSub { size 8{n - 1} } { {"dc" left (t right )} over {"dt"} } +a rSub { size 8{n} } c left (t right )=b rSub { size 8{0} } { {d rSup { size 8{n} } r left (t right )} over {"dt" rSup { size 8{n} } } } +b rSub { size 8{1} } { {d rSup { size 8{n - 1} } r left (t right )} over {"dt" rSup { size 8{n - 1} } } } + dotsaxis } {} # " " dotsaxis +b rSub { size 8{n - 1} } { {"dr" left (t right )} over {"dt"} } +b rSub { size 8{n} } r left (t right ) " " {} } } {}

Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng thái cũng phải chứa r(t).

Các biến trạng thái được định nghĩa như sau:

x1t=ct−b0rtx2t=˙x1t−h1rt⋮⋮xkt=˙xk−1t−hkrt(k=2,3,⋯,n)alignl { stack { size 12{ size 15{x rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} size 12{ {}=c left (t right ) - b rSub { size 8{0} } } size 15{r left (t right )}} {} # size 15{x rSub { size 8{2} } left ( size 12{t} right )} size 12{ {}= { dot {}x}} rSub { size 9{1}} left ( size 12{t} right ) size 12{ - h rSub { size 8{1} } } size 15{r left (t right )" "} {} # " " dotsvert " " dotsvert {} # size 15{x rSub { size 8{k} } left ( size 12{t} right )} size 12{ {}= { dot {}x}} rSub { size 9{k - 1}} left ( size 12{t} right ) size 12{ - h rSub { size 8{k} } } size 15{r left (t right )" " ( k="2,3," dotsaxis ",n" ) } {} } } {} (4.14)

Với các giá trị ở đó :

= b 1 − a 1 b 0 − a 2 b 0 b 2 − a 1 h 1 4 . 15 − a 3 b 0 b 3 − a 2 h 1 − a 1 h 2 ⋮ ⋮ − a k b 0 b k − a k − 1 h 1 − a k − 2 h 2 − ⋯ − a 2 h k − 1 − a 1 h k = = = h 2 h 1 alignl { stack { size 12{ size 15{h rSub { size 8{1} } } size 12{ {}=}b rSub { size 8{1} } size 12{ - }a rSub { size 8{1} } b rSub { size 8{0} } } {} # size 12{ size 15{h rSub { size 8{2} } } size 12{ {}= left (b rSub { size 8{2} } size 12{ - }a rSub { size 8{2} } b rSub { size 8{0} } right )} size 12{ - }a rSub { size 8{1} } h rSub { size 8{1} } size 12{" " left (4 "." "15" right )}} {} # size 12{ size 15{h rSub { size 8{3} } } size 12{ {}= left (b rSub { size 8{3} } size 12{ - }a rSub { size 8{3} } b rSub { size 8{0} } right )} size 12{ - }a rSub { size 8{2} } h rSub { size 8{1} } size 12{ - }a rSub { size 8{1} } h rSub { size 8{2} } } {} # size 12{" " dotsvert " " dotsvert } {} # size 12{ size 15{h rSub { size 8{k} } } size 12{ {}= left (b rSub { size 8{k} } size 12{ - }a rSub { size 8{k} } b rSub { size 8{0} } right )} size 12{ - }a rSub { size 8{k - 1} } h rSub { size 8{1} } size 12{ - }a rSub { size 8{k - 2} } h rSub { size 8{2} } size 12{` - dotsaxis - }a rSub { size 8{2} } h rSub { size 8{k - 1} } size 12{ - }a rSub { size 8{1} } h rSub { size 8{k} } size 12{" "}} {} } } {}

Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái sau đây dưới dạng bình thường :

x 1 ˙ t = x 2 t + h 1 r t x 2 ˙ t = x 3 t + h 2 r t ⋮ ⋮ 4 . 16 x n − 1 ˙ t = x n t + h n − 1 r t x n ˙ t = − a n x 1 t − a n − 1 x 2 t − ⋯ − a 2 x n − 1 t − a 1 x n t + h n r t alignl { stack { size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 9{1}} left (t right )=x rSub { size 9{2}} left (t right )+h rSub { size 9{1}} }r left (t right )} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 9{2}} left (t right )=x rSub { size 9{3}} left (t right )+h rSub { size 9{2}} }r left (t right )} {} # size 12{" " dotsvert " " dotsvert " " left (4 "." "16" right )} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 9{n - 1}} left (t right )=x rSub { size 9{n}} left (t right )+h rSub { size 9{n - 1}} }r left (t right )} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 9{n}} left (t right )= - a rSub { size 9{n}} }x rSub { size 9{1}} left (t right ) - a rSub { size 9{n - 1}} x rSub { size 9{2}} left (t right ) - dotsaxis - a rSub { size 9{2}} x rSub { size 9{n - 1}} left (t right ) - a rSub { size 9{1}} x rSub { size 9{n}} left (t right )+h rSub { size 9{n}} r left (t right )} {} } } {}

Phương trình output, có được từ biểu thức thứ nhất của(4.14):

C(t)=x1t+b0rt size 12{C ( t ) = size 15{x rSub { size 9{1}} left ( size 12{ size 15{t}} right )} size 15{+b rSub {0} } size 15{r left (t right )" " }} {} (4.17)

Những phương trình trạng thái của một hệ thống động có thể được viết dưới dạng ma trận, để sử dụng ma trận để trình bày trong các hệ phức tạp làm cho các phương trình có dạng cô đôïng hơn. Phương trình (4.1) viết dưới dạng ma trận thì đơn giản sau:

X ˙ t = f X t , R t = AX t + BR t 4 . 18 size 12{ { dot {X}} left (t right )=f left [X left (t right ),R left (t right ) right ]= ital "AX" left (t right )+ ital "BR" left (t right )" " left (4 "." "18" right )} {}

Trong đó X(t) là ma trận cột biểu diễn các biến số trạng thái gọi là các véctơ trạng thái.

R(t) là ma trận cột, biểu diễn input gọi là các véctơ input.

x1tx2t⋮xntrighXt= size 12{X left (t right )=alignl { stack { left [ size 15{x rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{2} } left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{" " dotsvert } {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{n} } left ( size 12{t} right )} {} # righ]} } size 12{ [ ] }" "} {}và r1tr2t⋮rptrighRt= size 12{R left (t right )=alignl { stack { left [ size 15{r rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{r rSub { size 8{2} } left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{" " dotsvert } {} # right ] left [ size 12{r rSub { size 8{p} } left ( size 12{t} right )} {} # righ]} } size 12{ [ ] }" "} {} (4.19)

A là ma trận vuông n x n :

a11a1n⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1an2⋯annrighA= size 12{A=alignl { stack { left [a rSub { size 8{"11"} } size 9{`}a rSub { size 8{ size 9{1n}} } size 9{` dotsaxis `}a rSub { size 8{ size 7{1n}} } {} # right ] left [a rSub {"21"} size 9{`} size 12{a rSub { size 8{"22"} } } size 9{` dotsaxis `}a rSub { size 8{2n} } {} # right ] left [ size 9{ dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis } {} # right ] left [a rSub { size 8{n1} } size 9{`}a rSub { size 8{ size 7{n2}} } size 9{` dotsaxis `}a rSub { size 8{ ital "nn"} } {} # righ]} } [ ] } {} (4.20)

B là ma trận n x p (vì có p input r )

b11b12⋯⋯b1pb21b22⋯⋯b2p⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯bn1bn2⋯⋯bnprighB= size 12{B=alignl { stack { left [b rSub { size 8{"11"} } `b rSub { size 8{"12"} } size 9{` dotsaxis dotsaxis `}b rSub { size 8{1p} } {} # right ] left [b rSub { size 8{"21"} } size 9{`}b rSub { size 8{"22"} } size 9{` dotsaxis dotsaxis `}b rSub { size 8{2p} } {} # right ] left [ dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis {} # right ] left [b rSub { size 8{n1} } size 9{`}b rSub { size 8{n2} } size 9{` dotsaxis dotsaxis `}b rSub { size 8{ ital "np"} } {} # righ]} } [ ] } {} (4.21)

Tương tự như vậy, q phương trình trong (4.2) cũng có thêû được trình bày bằng một ma trận duy nhất

Ct=gXt+Rt=DXt+ERt size 12{C left (t right )= size 17{g` left [X left (t right )+R left (t right ) right ]= ital "DX" left (t right )+ ital "ER" left (t right )}} {} (4.22)

Trong đó D là ma trận q x n và E là ma trận q x p.

Thí dụ, các phương trình trạng thái của phương trình (4.11) được viết dưới dạng ma trận:

nx1 n x n n x 1 n x 1x1˙tx2˙t⋮⋮⋮xn˙trigh[]=01000⋯⋯000100⋯⋯000010⋯⋯0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯00000⋯⋯1n−1⋯⋯⋯⋯⋯⋯−a1−an−arigh[]x1tx1t⋮⋮⋮xntrigh+00⋮⋮⋮1righalignl { stack { size 12{ size 15{" "n}x1" n x n n x 1 n x 1"} {} # alignl { stack { left [ { dot { size 15{x}} rSub { size 9{1}} left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 9{2}} left ( size 12{t} right )}} {} # right ] left [ size 12{" " dotsvert } {} # right ] left [ size 12{~ dotsvert } {} # right ] left [ size 12{~ dotsvert } {} # right ] left [ size 12{ { dot { size 15{x}} rSub {n} left (t right )}} {} # righ]} } [ ] `~=`~alignl { stack { left [0`~~1~~0~~0~~0` dotsaxis dotsaxis `0 {} # right ] left [0`~~0~~1~~0~~0` dotsaxis dotsaxis `0 {} # right ] left [0`~~0~~0~~1~~0` dotsaxis dotsaxis `0 {} # right ] left [ dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis {} # right ] left [0`~~0~~0~~0~~0` dotsaxis dotsaxis `1 {} # right ] left [ - a rSub { size 8{ size 15{n}} } - a rSub { size 15{n - } size 9{1}} size 12{~ dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis " " - a rSub { size 8{ size 9{1}} } } {} # righ]} } [ ] `alignl { stack { left [ size 15{x rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} {} # right ] left [ size 12{~ dotsvert } {} # right ] left [ size 12{~ dotsvert } {} # right ] left [ size 12{~ dotsvert } {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{n} } left ( size 12{t} right )} {} # righ]} } size 12{ [ ] }~ size 16{+~alignl { stack { left [ size 13{0} {} # right ] left [ size 13{0} {} # right ] left [ size 13{ dotsvert } {} # right ] left [ size 13{ dotsvert } {} # right ] left [ size 13{ dotsvert } {} # right ] left [ size 13{1} {} # righ]} } size 12{ [ ] }} size 16{r left (t right )} {} } } {} (4.23)

Khi so sánh phương trình (4.23) với phương trình (4.18), các ma trận A và B sẽ được đồng nhất dễ dàng. Trường hợp này, phương trình output (4.22) là một phương trình vô hướng.

D=100⋯0 size 12{D= left [1~0~0` dotsaxis `0 right ]} {} (4.24)

Và E = 0 (ma trận không ( 4.25 )

Tương tự các ma trận A, B,C,D đối với phương trình (4.13) sẽ là

A=01000⋯⋯000100⋯⋯000010⋯⋯0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯00000⋯⋯1n−1⋯⋯⋯⋯⋯⋯−a1−an−arigh size 12{ size 15{ }A~=`~alignl { stack { left [0`~~1~~0~~0~~0` dotsaxis dotsaxis `0 {} # right ] left [0`~~0~~1~~0~~0` dotsaxis dotsaxis `0 {} # right ] left [0`~~0~~0~~1~~0` dotsaxis dotsaxis `0 {} # right ] left [ dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis {} # right ] left [0`~~0~~0~~0~~0` dotsaxis dotsaxis `1 {} # right ] left [ - a rSub { size 8{ size 15{n}} } - a rSub { size 15{n - } size 9{1}} size 12{~ dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis dotsaxis " " - a rSub { size 8{ size 9{1}} } } {} # righ]} } [ ] } {} (4.26)

B=h1h2⋮hnrigh size 12{B``=```alignl { stack { left [ size 14{h rSub { size 8{1} } } {} # right ] left [ size 12{h rSub { size 8{2} } } {} # right ] left [ size 12{ dotsvert } {} # right ] left [ size 12{h rSub { size 8{ size 15{n}} } size 12{}} {} # righ]} } size 12{ [ ] }} {} (4.27)

D=100⋯0 size 12{D~=`~ left [1~0~0` dotsaxis `0 right ]} {} (4.28 )

E=b0 size 12{E~=`` left [b rSub { size 8{0} } right ]} {} (4.29)

Thí dụ 4.1:

Xem một hệ thống tuyến tính, có hàm chuyển cho bởi:

GS=CSRS=5S3+8S2+9S+2 size 12{G left (S right )``=` { {C left (S right )} over {R left (S right )} } = { {5} over {S rSup { size 8{3} } +8S rSup { size 8{2} } +9S+2} } } {} (4.30)

Phương trình vi phân tương ứng diển tả hệ thống là:

d3cdt3+8d2cdt2+9dcdt+2c=5r size 12{ { { size 11{d rSup { size 8{3} } c}} over { size 12{ ital "dt" rSup { size 8{3} } } } } `+`8 { { size 12{d rSup { size 8{2} } c} } over { size 12{ ital "dt" rSup { size 8{2} } } } } `+`9 { { size 12{ ital "dc"} } over { size 12{ ital "dt"} } } `+`2c=5r} {} (4.31)

Các biến số trạng thái được định nghĩa:

x1t=ctx1˙t=x2tx2˙t=x3tx3˙t=−2x1−9x2−8x3+5ralignl { stack { size 12{ size 15{x rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} size 12{`=`}c left ( size 12{t} right )} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{1} } left ( size 12{t} right )} size 12{`=`}x rSub { size 8{2} } left ( size 12{t} right ) size 12{`}} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{2} } left ( size 12{t} right )} size 12{`=`}x rSub { size 8{3} } left ( size 12{t} right ) size 12{`}} {} # size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{3} } left ( size 12{t} right )} size 12{`=`} - 2x rSub { size 8{1} } size 12{ - }9x rSub { size 8{2} } - 8x rSub { size 8{3} } +5r size 12{``}} {} } } {} (4.32)

Do đó hệ thống có thể được diễn tả bằng ma trận:

X˙=AX+BR size 12{ { dot {X}}= ital "AX"+ ital "BR"} {} (4.33)

và C = DX + ER (4.34)

Với

010001−2−9−8righA= size 12{A=alignl { stack { left [``0~``1~``0 {} # right ] left [``0~``0~``1 {} # right ] left [ - 2~ - 9~ - 8 {} # righ]} } [ ] } {} ; B=000000005righ size 12{B`=~alignl { stack { left [0~`0`~0 {} # right ] left [0~`0`~0 {} # right ] left [0~`0`~5 {} # righ]} } [ ] } {}

R=00rrigh size 12{R`=`alignl { stack { left [0 {} # right ] left [0 {} # right ] left [ size 15{r} {} # righ]} } [ ] } {} ; x1x2x3righX= size 12{X=alignl { stack { left [ size 15{x rSub { size 8{1} } } {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{2} } } {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{3} } } {} # righ]} } size 12{ [ ] }} {} ; X˙=x1˙x˙2x˙3righ size 12{ { dot {X}}`=`alignl { stack { left [ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{1} } } {} # right ] left [ size 12{ { dot {x}} rSub { size 8{2} } } {} # right ] left [ size 12{ { dot {x}} rSub { size 8{3} } } {} # righ]} } size 12{ [ ] }} {}

D=100 size 12{D= left [1~0~0 right ]} {} ; E = 0

Thí dụ 4.2:

Xem một hệ thống điều khiển như H.4.2. Hàm chuyển vòng kín của hệ là:

CSRS=2S2+S+2 size 12{ { {C left (S right )} over {R left (S right )} } `= { {2} over {S rSup { size 8{2} } +S+2} } } {} (4.35)

Phương trình vi phân tương ứng

d2cdt2+dcdt+2c=2r size 12{ { { size 11{d rSup { size 8{2} } c}} over { size 12{ ital "dt" rSup { size 8{2} } } } } + { { size 12{ ital "dc"} } over { size 12{ ital "dt"} } } +2c=2r} {} (4.36)

Các biến trạng thái:

x 1 = c size 12{ size 15{x rSub { size 8{ size 9{1}} } =c}} {}

x1˙=x2 size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{ size 9{1}} } =x rSub { size 9{2}} }} {} (4.37)

x 2 ˙ = − 2 x 1 − x 2 + 2 r size 12{ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{ size 9{2}} } = - } size 14{2}x rSub { size 9{1}} - x rSub { size 9{2}} + size 13{2}r} {}

Vậy hệ thống có thể diển tả bằng hệ thống véctơ:

X˙=AX+Br size 12{ { dot {X}}= ital "AX"+B size 15{r}} {} (4.38)

C = DX+Er

Trong đó :

01−2−1righA= size 12{A=alignl { stack { left [``0~~1 {} # right ] left [ - 2~` - 1 {} # righ]} } [ ] } {} ; 02righB= size 12{B=alignl { stack { left [0 {} # right ] left [2 {} # righ]} } [ ] } {} ; x1x2righX= size 12{X=alignl { stack { left [ size 15{x rSub { size 8{1} } } {} # right ] left [ size 12{x rSub { size 8{2} } } {} # righ]} } size 12{ [ ] }} {} ; x1˙x˙2righX˙= size 12{ { dot {X}}=alignl { stack { left [ { dot { size 15{x}} rSub { size 8{1} } } {} # right ] left [ size 12{ { dot {x}} rSub { size 8{2} } } {} # righ]} } size 12{ [ ] }} {} ;

D = 1 0 size 12{D= left [1~~0 right ]} {}

Thí dụ 4.3 :

Xem một mạch RLC như H. 4.3

Trạng thái của hệ có thể mô tả bởi tập hợp các biến trạng thái

x1 = vc(t) ( 4.39)

x2 = iL(t) ( 4.40)

Đối với mạch RLC thụ động, số các biến số trạng thái cần thiết thì bằng với số các bộ phận tích trữ năng lượng độc lập. Các định luật Kirchhoff cho:

ic=cdvcdt=r(t)−iL size 10{ size 11{i rSub { size 11{c}} =c { { size 11{ ital "dv" rSub { size 11{c}} }} over { size 11{ ital "dt"}} } =r ( t ) - i rSub { size 11{L}} }} {} (4.41)

LdiLdt=−RiL+vC size 12{L { { ital "di" rSub { size 8{L} } } over { ital "dt"} } = - ital "Ri" rSub { size 8{L} } +v rSub { size 8{C} } } {} (4.42)

Output của hệ : v0 = RiL (4.43)

{}Viết lại(4.41) và (4.42) như là tập hợp các phương trình vi phân cấp 1:

x1=dvcdt=−1Cx2+1Cr(t) size 12{ {x rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ cdot } } = { { ital "dv" rSub { size 8{c} } } over { ital "dt"} } = - { {1} over {C} } x rSub { size 8{2} } + { {1} over {C} } r ( t ) } {} (4.44)

x2=1Lx1−RLx2 size 12{ {x rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ cdot } } = { {1} over {L} } x rSub { size 8{1} } - { {R} over {L} } x rSub { size 8{2} } } {} (4.45)

Tín hiệu ra c(t) = v0 = Rx2 (4.46)

Dùng các phương trình (4.44), (4.45), (4.46) và các điều kiện đầu của mạch x1(t0), x2(t0) ta có thể xác định trạng thái tương lai của mạch và tín hiệu ra của nó.

Dưới dạng véctơ, trạng thái của hệ được trình bày:

X = AX + Br size 12{ {X} cSup { size 8{ cdot } } = ital "AX"+ ital "Br"} {}

C = DX + Er size 12{ {C} cSup {} = ital "DX"+ ital "Er"} {}

Trong đó:

A=∣0−1C1L−RL∣ size 12{A= lline matrix { 0 {} # - { {1} over {C} } {} ## { {1} over {L} } {} # - { {R} over {L} } {} } rline } {} ; B=1C0 size 12{B= left [ matrix { { {1} over {C} } {} ## 0 } right ]} {} ; D=0R size 12{D= left [ matrix { 0 {} # {} } R right ]} {}

X=x1x2 size 12{X= left [ matrix { x rSub { size 8{1} } {} ## x rSub { size 8{2} } } right ]} {} ; {}X.=x.1x.2 size 12{ {X} cSup { size 8{ "." } } = left [ matrix { {x} cSup { size 8{ "." } } rSub { size 8{1} } {} ## {x} cSup { size 8{ "." } } rSub { size 8{2} } } right ]} {} ; {}E=0

Lưu ý là các biến trạng thái của hệ thống không phải là duy nhất. Tùy theo cách chọn lựa, có thể có những tập hợp khác của các biến trạng thái.

Đồ hình truyền tín hiệu mà ta đã nói ở chương 3 chỉ áp dụng cho các phương trình đại số. Ở đây, ta sẽ đưa vào các phương pháp đồ hình trạng thái, như là một sự mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mô tả các phương trình trạng thái ,và các phương trình vi phân. Ý nghĩa quan trọng của đồ hình trạng thái là nó tạo được một sự liên hệ kín giữa phương trình trạng thái, sự mô phỏng trên máy tính và hàm chuyển.

Một đồ hình trạng thái được xây dựng theo tất cả các qui tắc của đồ hình truyền tín hiệu. Nhưng đồ hình trạng thái có thể được dùng để giải các hệ tuyến tính hoặc bằng giải tích hoặc bằng máy tính.

Trở lại mạch RLC ở ví dụ 4.3. Để diễn tả đồng lúc 3 phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta có thể dùng giãûn đồ hình trạng thái như hình H.4_4 sau đây :