Số nguyên tố cùng nhau
Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime) nếu chúng có ước chung lớn nhất là 1. Chẳng hạn,6 và 35 là nguyên tố cùng nhau, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau ví có Ước chung lớn ...
Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime) nếu chúng có ước chung lớn nhất là 1.
Chẳng hạn,6 và 35 là nguyên tố cùng nhau, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau ví có Ước chung lớn nhất là 3. Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên.
Một phương pháp xác định tính nguyên tố cùng nhau của hai số nguyên là sử dụng thuật toán Euclid.
Phi hàm Euler của một số nguyên dương n là số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n.
Các điều kiện sau tương đương với điều kiện a và b nguyên tố cùng nhau:
* Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1 (xem Đẳng thức Bézout).
* Số nguyên b là khả nghịch theo modulo a: nghĩa là tồn tại số nguyên y sao cho by ≡ 1 (mod a). Nói các khác , b là một đơn vị trong vành Z/aZ của các số nguyên modulo a.
Các số 4 và 9 là nguyên tố cùng nhau vì đường chéo không đi qua điểm nguyên nào trong hình chữ nhật
Ta cúng có: nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và br ≡ bs (mod a), thì r ≡ s (mod a) (vì ta có thể chia cho b khi theo modulo a). Tiếp theo , nếu a và b1 là nguyên tố cùng nhau, và a và b2 cũng nguyên tố cùng nhau, thì a và b1b2 cũng là nguyên tố cùng nhau(vì tích của các đơn vị lại là đơn vị).
Nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và a là ước của tích bc, thì a là ước của c. Đây là tổng quát hóa của bổ đề Euclid (nếu p là số nguyên tố, và p là ước của tích bc, thì p là ước của b hoặc p là ước của c.
Hai số nguyên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu đoạn thẳng nối điểm có tọa độ (a, b) trong Hệ tọa độ Descartes với gốc (0,0), không có điểm nào trên nó có tọa độ nguyên. (Hình 1.)
Xác suất để hai số nguyên chọn ngẫu nhiên là nguyên tố cùng nhau bằng 6/ π2 size 12{π rSup { size 8{2} } } {} (xem pi), xấp xỉ 60%.
Hai số tự nhiên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu 2a size 12{2 rSup { size 8{a} } } {} − 1 và 2b size 12{2 rSup { size 8{b} } } {} − 1 là nguyên tố cùng nhau.
Nếu n≥1 là một số nguyên, tập hợp các số nguyên tố cùng nhau với n, lấy theo modulo n, tạo thành một nhóm với phép nhân; nó được ký hiệu là (Z/nZ)* hoặc Zn*.
Cho n số nguyên a1, a2, ..., an. Các số này được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của n số đó bằng 1.
Cần phân biệt với khái niệm nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Các số a1, a2, ..., an được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một nếu từng cặp hai số khác nhau trong chúng là nguyên tố cùng nhau.
Ba số 3, 5, 15 là nguyên tố cùng nhau, nhưng không nguyên tố cùng nhau từng đôi một.
