RÚT GỌN HÀM LOGIC 1
Để thực hiện một hàm logic bằng mạch điện tử, người ta luôn luôn nghĩ đến việc sử dụng lượng linh kiện ít nhất. Muốn vậy, hàm logic phải ở dạng tối giản, nên vấn đề rút gọn hàm logic là bước đầu tiên phải thực hiện trong quá trình thiết kế. ...
Để thực hiện một hàm logic bằng mạch điện tử, người ta luôn luôn nghĩ đến việc sử dụng lượng linh kiện ít nhất. Muốn vậy, hàm logic phải ở dạng tối giản, nên vấn đề rút gọn hàm logic là bước đầu tiên phải thực hiện trong quá trình thiết kế. Có 3 phương pháp rút gọn hàm logic:
- Phương pháp đại số
- Phương pháp dùng bảng Karnaugh
- Phương pháp Quine Mc. Cluskey
Phương pháp đại số
Phương pháp này bao gồm việc áp dụng các tính chất của hàm logic cơ bản. Một số đẳng thức thường được sử dụng được nhóm lại như sau:
Chứng minh các đẳng thức 1, 2, 3:
Các đẳng thức (1’), (2’), (3’) là song đối của (1), (2), (3).
Các qui tắc rút gọn:
-Qui tắc 1:Nhờ các đẳng thức trên nhóm các số hạng lại.
Thí dụ:Rút gọn biểu thức
Theo (1)
Vậy 
Theo (3) 
Và kết quả cuối cùng:
-Qui tắc 2:Ta có thể thêm một số hạng đã có trong biểu thức logic vào biểu thức mà không làm thay đổi biểu thức.
Thí dụ:Rút gọn biểu thức:
Thêm ABC vào để được:
Theo (1) các nhóm trong dấu ngoặc rút gọn thành: BC + AC + AB
Vậy:
- Qui tắc 3: Có thể bỏ số hạng chứa các biến đã có trong số hạng khác
Thí dụ 1: Rút gọn biểu thức AB + 
C + AC
Biểu thức không đổi nếu ta nhân một số hạng trong biểu thức với 1, ví dụ (B+
):
Triển khai số hạng cuối cùng của vế phải, ta được:
Thừa số chung:
Tóm lại:
Trong bài tóan này ta đã đơn giản được số hạng AC.
Thí dụ 2: Rút gọn biểu thức (A+B).(
+C).(A+C)
Biểu thức không đổi nếu ta thêm vào một thừa số có trị =0, ví dụ B.
Theo (2’) 
Vậy: 
Trong bài tóan này ta đã bỏ số hạng A+C
- Qui tắc 4:Có thể đơn giản bằng cách dùng hàm chuẩn tương đương có số hạng ít nhất.
Thí dụ:Hàm f(A,B,C) = Σ(2,3,4,5,6,7) với trọng lượng A=4, B=2, C=1
Hàm đảo của f:
Vậy f(A,B,C) = A+B
Dùng bảng Karnaugh
Dùng bảng Karnaugh cho phép rút gọn dễ dàng các hàm logic chứa từ 3 tới 6 biến.
Nguyên tắc
Xét hai tổ hợp biến AB và A
hai tổ hợp này chỉ khác nhau một bit, ta gọi chúng là hai tổ hợp kề nhau.
Ta có: AB + A
= A , biến B đã được đơn giản .
Phương pháp của bảng Karnaugh dựa vào việc nhóm các tổ hợp kề nhau trên bảng để đơn giản biến có giá trị khác nhau trong các tổ hợp này.
Công việc rút gọn hàm được thực hiện theo bốn bước:
ω Vẽ bảng Karnaugh theo số biến của hàm
ω Chuyển hàm cần đơn giản vào bảng Karnaugh
ω Gom các ô chứa các tổ hợp kề nhau lại thành các nhóm sao cho có thể rút gọn hàm tới mức tối giản
ω Viết kết quả hàm rút gọn từ các nhóm đã gom được.
Vẽ bảng Karnaugh
- Bảng Karnaugh thực chất là một dạng khác của bảng sự thật, trong đó mỗi ô của bảng tương đương với một hàng trong bảng sự thật.
Để vẽ bảng Karnaugh cho n biến, người ta chia số biến ra làm đôi, phân nửa dùng để tạo 2n/2 cột, phân nửa còn lại tạo 2n/2 hàng (nếu n là số lẻ, người ta có thể cho số lượng biến trên cột lớn hơn số lượng biến cho hàng hay ngược lại cũng được). Như vậy, với một hàm có n biến, bảng Karnaugh gồm 2n ô, mỗi ô tương ứng với tổ hợp biến này. Các ô trong bảng được sắp đặt sao cho hai ô kề nhau chỉ khác nhau một đơn vị nhị phân (khác nhau một bit), điều này cho thấy rất thuận tiện nếu chúng ta dùng mã Gray. Chính sự sắp đặt này cho phép ta đơn giản bằng cách nhóm các ô kề nhau lại.
Với 2 biến AB, sự sắp đặt sẽ theo thứ tự: AB = 00, 01, 11, 10 (đây là thứ tự mã Gray, nhưng để cho dễ ta dùng số nhị phân tương ứng để đọc thứ tự này: 0, 1, 3, 2)
Thí dụ: Bảng Karnaugh cho hàm 3 biến (A = MSB, và C = LSB) (H 2.3)
(H 2.3)
Với 3 biến ABC, ta được: ABC = 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100 (số nhị phân tương ứng: 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4)
Lưu ý là ta có thể thiết lập bảng Karnaugh theo chiều nằm ngang hay theo chiều đứng.
Do các tổ hợp ở các bìa trái và phải kề nhau nên ta có thể coi bảng có dạng hình trụ thẳng đứng và các tổ hợp ở bìa trên và dưới cũng kề nhau nên ta có thể coi bảng có dạng hình trụ trục nằm ngang. Và 4 tổ hợp biến ở 4 góc cũng là các tổ hợp kề nhau.
Hình (H 2.4) là bảng Karnaugh cho 4 biến.
(H 2.4)
Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh.
Trong mỗi ô của bảng ta đưa vào giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp biến, để đơn giản chúng ta có thể chỉ ghi các trị 1 mà bỏ qua các trị 0 của hàm. Ta có các trường hợp sau:
Từ hàm viết dưới dạng tổng chuẩn:
Thí dụ 1 :
(H 2.5)
Nếu hàm không phải là dạng chuẩn, ta phải đưa về dạng chuẩn bằng cách thêm vào các số hạng sao cho hàm vẫn không đổi nhưng các số hạng chứa đủ các biến.
Thí dụ 2 :
Hàm này gồm 4 biến, nên để đưa về dạng tổng chuẩn ta làm như sau:
Và Hàm Y được đưa vào bảng Karnaugh như sau (H 2.6):
(H 2.6)
Từ dạng số thứ nhất, với các trọng lượng tương ứng A=4, B=2, C=1
Thí dụ 3: f(A,B,C) = Σ(1,3,7). Hàm số sẽ lấy giá trị 1 trong các ô 1,3 và 7.
Từ dạng tích chuẩn: Ta lấy hàm đảo để có dạng tổng chuẩn và ghi trị 0 vào các ô tương ứng với tổ hợp biến trong tổng chuẩn này. Các ô còn lại chứa số 1.
Thí dụ 4 :
Và bảng Karnaugh tương ứng (H 2.7).
(H 2.7)
Từ dạng số thứ hai:
Thí dụ 5 : f(A,B,C) = Π(0,2,4,5,6)
Hàm sẽ lấy các trị 0 ở các ô 0, 2, 4, 5, 6. Dĩ nhiên là ta phải ghi các giá trị 1 trong các ô còn lại (H 2.7).
Từ bảng sự thật:
Thí dụ 6 : Hàm f(A,B,C) cho bởi bảng sự thật
Ta ghi 1 vào các ô tương ứng với các tổ hợp biến ở hàng 1, 3 và 7, kết quả giống như ở thí dụ 1.
Trường hợp có một số tổ hợp cho giá trị hàm không xác định: nghĩa là ứng với các tổ hợp này hàm có thể có giá trị 1 hoặc 0, do đó, ta ghi dấu X vào các ô tương ứng với các tổ hợp này, lúc gom nhóm ta sử dụng nó như số 1 hay số 0 một cách tùy ý sao cho có được kết quả rút gọn nhất.
