phương trình mạch điện

một số định nghĩa

 giản đồ thẳng

để vẽ giản đồ thẳng tương ứng của một mạch ta thay các nhánh của mạch bởi các đoạn thẳng (hoặc cong) và các nút bởi các dấu chấm.

(a) (b)

(h 3.1)

trong giản đồ các nhánh và nút được đặt tên hoặc đánh số thứ tự. nếu các nhánh được định hướng (thường ta lấy chiều dòng điện trong nhánh định hướng cho giản đồ ), ta có giản đồ hữu hướng.

(h 3.1b) là giản đồ định hướng tương ứng của mạch (h 3.1a).

 giản đồ con

tập hợp con của tập hợp các nhánh và nút của giản đồ.

 vòng

giản đồ con khép kín. mỗi nút trong một vòng phải nối với hai nhánh trong vòng đó. ta gọi tên các vòng bằng tập hợp các nhánh tạo thành vòng hoặc tập hợp các nút thuộc vòng đó.

thí dụ:

(h 3.2a): vòng (4,5,6) hoặc (a,b,o,a).

(h 3.2b): vòng (1,6,4,3) hoặc ( a,b,o,c,a).

(a) (b)

(h 3.2)

 cây

giản đồ con chứa tất cả các nút của giản đồ nhưng không chứa vòng.

một giản đồ có thể có nhiều cây.

thí dụ:

(h 3.3a): cây 3,5,6 ;

(h 3.3b): cây 3,4,5 . . ..

(a) (b)

(h 3.3)

* cách vẽ một cây: nhánh thứ nhất được chọn nối với 2 nút, nhánh thứ hai nối 1 trong hai nút này với nút thứ 3 và nhánh theo sau lại nối một nút nữa vào các nút trước. như vậy khi nối n nút, cây chứa n-1 nhánh.

thí dụ để vẽ cây của (h 3.3b) ta lần lượt làm từng bước theo (h 3.4).

(h 3.4)

để phân biệt nhánh của cây với các nhánh khác trong giản đồ, người ta gọi nhánh của cây là cành và các nhánh còn lại gọi là nhánh nối. cành và nhánh nối chỉ có ý nghĩa sau khi đã chọn cây.

gọi l là số nhánh nối ta có:

b = (n - 1) + l

hay l = b - n +1 (3.1)

trong đó b là số nhánh của giản đồ, n là số nút.

trong giản đồ trên hình 3.1 : b = 6, n = 4 vậy l = 6 - 4 + 1 = 3

nhận thấy, một cây nếu thêm một nhánh nối vào sẽ tạo thành một vòng độc lập ( là vòng chứa ít nhất một nhánh không thuộc vòng khác ).

vậy số vòng độc lập của một giản đồ chính là số nhánh nối l.

định lý về topo mạch

nhắc lại, một mạch gồm b nhánh cần 2b phương trình độc lập để giải, trong đó b phương trình là hệ thức v - i của các nhánh, vậy còn lại b phương trình phải được thiết lập từ định luật kirchhoff .

 định lý 1:

giản đồ có n nút, có (n -1) phương trình độc lập do định luật kcl viết cho (n-1) nút của giản đồ.

thật vậy, phương trình viết cho nút thứ n có thể suy từ (n-1) phương trình kia.

 định lý 2

hiệu thế của các nhánh (tức giữa 2 nút) của giản đồ có thể viết theo (n-1) hiệu thế độc lập nhờ định luật kvl.

thật vậy, một cây nối tất cả các nút của giản đồ, giữa hai nút bất kỳ luôn có một đường nối chỉ gồm các cành của cây, do đó hiệu thế giữa hai nút có thể viết theo hiệu thế của các cành của cây. một cây có (n - 1) cành, vậy hiệu thế của một nhánh nào của giản đồ cũng có thể viết theo (n-1) hiệu thế độc lập của các cành.

trong thí dụ của (h 3.1), cây gồm 3 nhánh 3, 4, 5 đặc biệt quan trọng vì các cành của nó nối với một nút chung o, o gọi là nút chuẩn. hiệu thế của các cành là hiệu thế giữa các nút a, b, c (so với nút chuẩn). tập hợp (n - 1) hiệu thế này được gọi là hiệu thế nút.

nếu mạch không có đặc tính như trên thì ta có thể chọn một nút bất kỳ làm nút chuẩn.

 định lý 3

ta có l = b - n +1 vòng hay mắt lưới độc lập với nhau, trong đó ta có thể viết phương trình từ định luật kvl.

 định lý 4

mọi dòng điện trong các nhánh có thể được viết theo l = b - n +1 dòng điện độc lập nhờ định luật kcl.

các vòng độc lập có được bằng cách chọn một cây của giản đồ, xong cứ thêm 1 nhánh nối vào ta được 1 vòng. vòng này chứa nhánh nối mới thêm vào mà nhánh này không thuộc một vòng nào khác. vậy ta có l = b - n + 1 vòng độc lập. các dòng điện chạy trong các nhánh nối họp thành một tập hợp các dòng điện độc lập trong mạch tương ứng .

thí dụ: trong giản đồ (h 3.1b), nếu ta chọn cây gồm các nhánh 3,4,5 thì ta được các vòng độc lập sau đây:

(h 3.5)

một phương pháp khác để xác định vòng độc lập là ta chọn các mắt lưới trong một giản đồ phẳng (giản đồ mà các nhánh chỉ cắt nhau tại các nút). mắt lưới là một vòng không chứa vòng nào khác. trong giản đồ (h 3.1b) mắt lưới là các vòng gồm các nhánh: (4,5,6), (2,3,4) & (1,2,6).

một mắt lưới luôn luôn chứa một nhánh không thuộc mắt lưới khác nên nó là một vòng độc lập và số mắt lưới cũng là l.

các định lý trên cho ta đủ b phương trình để giải mạch :

gồm (n-1) phương trình nút và (l = b - n + 1) phương trình vòng.

và tổng số phương trình là:

(n-1) + l = n - 1 + b - n + 1 = b