Phương pháp bình phương bé nhất

Giả sử có 2 đại lượng (vật lý, hoá học, …) x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một trong các dạng đã biết sau:

nhưng chưa xác định được giá trị của các tham số a, b, c. Để xác định được các tham số này, ta tìm cách tính một số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i=1, 2, …,n bằng thực nghiệm, sau đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất.

Gọi εi sai số tại các điểm xi

εi = yi - a - bxi

Khi đó tổng bình phương các sai số: S=∑i=1nεi size 12{S= Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {ε rSub { size 8{i} } } } {}

Mục đích của phương pháp này là xác định a, b sao cho S là bé nhất. Như vậy a, b là nghiệm hệ phương trình:

Ta có

Giải hệ phương trình ta được: a, b

Gọi εi sai số tại các điểm xi

εi = yi - a - bxi

Khi đó tổng bình phương các sai số: S=∑i=1nεi2 size 12{S= Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{n} } {ε rSub { size 8{i} } rSup { size 8{2} } } } {}

Các hệ số a, b xác định sao cho S là bé nhất. Như vậy a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được a, b, c

Lấy Logarit cơ số e hai vế: Lny = lna + bx

Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x

Ta đưa về dạng: Y = A + BX

Giải hệ phương trình ta được A, B => a = eA, b=B

Lấy Logarit cơ số 10 hai vế: Lgy = lga + blgx

Đặt Y = lgy; A = lga; B = b; X = lgx

Ta đưa về dạng: Y = A + BX

Giải hệ phương trình ta được A, B => a = 10A, b=B

Ví dụ1: cho các nút nội suy không cách đều

Cho bảng giá trị của hàm số f(x):

X	0 2 3 5 6
F(x)	1 3 2 5 6

1.Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x₀ = 0 của hàm số

y = f(x).

2. Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f(1,25).

Bài giải:

Tỷ hiệu các cấp của hàm số f(x) tính được trong bảng sau:

Dùng công thức (1.5), ta có:

R₄ (x) = 1 + x.1 + x(x-2)(-2/3) + x(x-2)(x-3)3/10 + x(x-2)(x-3)(x-5)(-11/120) =

(-11/120)x⁴ + (73/60)x³ – (601/120)x² + (413/60)x + 1

2. Dùng kết quả nhận được ở câu 1, ta có:

f(1,25) ≈ P₄(1,25) = 3,9311525

Ví dụ 2: cho các nút nội suy cách đều

Cho bảng giá trị của hàm số y = Sin x :

X	150 200 250 300
Y = Sin x	0,258819 0,342020 0,422618 0,50000

1. Dùng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x₀ = 15⁰

tính gần đúng Sin 16⁰

1. Đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được.

Bài giải:

Ở đây, các nút nội suy cách đều với h = 15⁰ . Lập bảng các hiệu hữu hạn tiến, ta có :

Theo công thức (1.8) ta có:

t = (x-x₀)/h = (16⁰ - 15⁰ )/ 5⁰ = 0,2

Sin 16⁰ ≈ 0,258819 + 0,2.0,083201 + (0,2.(-0,8).(-0,002603))/2!

+ (0,2.(-0,8).(-1,8).(-0,000613))/3!

Sin 16⁰ ≈ 0,275638

2.Để đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được, ta dùng (1.11) với n = 3

│Sin⁽⁴⁾(x)│ = │Sin(x)│≤ 1, với mọi x

│R₃(16⁰)│ = │Sin(16⁰) – 0,275638│ ≤ ((5Π/180)⁴.│(0,2)(-0,8)(-1,8)(-2,8)│)/4!

≤ 0,0000019 ≈ 0,000002

Vậy Sin 16⁰ = 0,275638 ± 0,000002.

Ví dụ 3:

Nội suy hàm f(x)=1/(1+25x²), x nằm trong [-1, 1] bằng đa thức nội suy, 5 mốc cách đề.

Tính giá trị Pn(0.95).

So sánh với giá trị chính xác f(0.95)=0.04

-

0.038 0.138 1 0.138 0.038

Có 5 nút nội suy=> ta thu được đa thức nội suy bậc 4 P4(x)

So sánh đồ thị f(x) ban đầu với đồ thị của đa thức nội suy P4(x)

? Tăng số nút => sai số?

Nội suy đa thức bậc quá lớn => đồ thị phức tạp

=> Thay đa thức nội suy bậc n bằng nội suy bậc thấp (bậc 1, 2, ..) trên từng đoạn

[x_k, x_k+1], với k= 0..n-1

Thay việc nội suy bậc n, nội suy bậc 1 trên từng đoạn [x_k, x_k+1], với k= 0..n-1

{}

Vídụ7. Cho biết các cặp giá trị của x và y theo bảng sau:

xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15

yi 0.96 1.06 1.17 1.29 1.58

Lập công thức thực nghiệm của y dạng aebx

Giả i

Ta có: y = aebx

Lấy Logarit cơ số e hai vế: Lny = lna + bx

Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x

Ta đưa về dạng: Y = A + BX

Xi = xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15

Yi = lnyi -0.04 0.06 0.18 0.25 0.46

ΣXi ΣXi² ΣXiYi ΣYi

4.35 3.93 0.92 0.89

: A, B là nghiệm hệ phương trình

5A + 4.35B =0.89

4.35A + 3.93B = 0.92

Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = 1

Suy ra: a = eA = ½, b = B =1

Vậy f(x) = 1/2e^x