Hamiltonian của điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường có dạng
H
=
1
2
m
e
*
(
p
→
+
e
A
→
)
2
+
m
e
*
ω
e
2
r
2
2
.
Lấy trong đơn vị ℏ=c=1.
Từ trường dọc theo trục z B→=(0,0,B),
me* là khối lượng hiệu dụng của điện tử,
ωe đặc trưng cho thế giam cầm lượng tử,
Chọn đối xứng gauss
A
→
=
1
2
B
→
→
r
→
=
1
2
B
(
-
y
,
x
,
0
)
.
Ta có
A
→
p
→
=
p
→
A
→
=
1
2
B
(
-
y
p
x
+
x
p
y
)
=
1
2
B
l
z
,
r
2
=
x
2
+
y
2
A
2
=
B
2
(
x
2
+
y
2
)
=
B
2
r
2
,
Hamiltonian viết lại thành
H
^
=
1
2
m
e
*
(
p
2
+
e
(
p
→
A
→
+
A
→
p
→
)
+
e
2
A
2
)
+
m
e
*
ω
e
2
r
2
2
H
^
=
p
2
2
m
e
*
+
e
B
l
z
2
m
e
*
+
e
2
B
2
r
2
2
m
e
*
+
m
e
*
ω
e
2
r
2
2
.
Đặt ωce=eBme* với ωce là tần số cyclotron.
H
^
e
=
p
2
2
m
e
*
+
1
2
m
e
*
(
ω
e
2
+
ω
c
e
4
)
r
2
+
1
2
ω
c
e
l
z
.
Đặt Oe2=ωe2+ωce24
Trong toạ độ cực x=rcos(ϕ)y=rsin(ϕ).
p
2
=
-
∂
2
∂
r
2
+
1
r
∂
∂
r
+
1
r
2
∂
2
∂
ϕ
l
z
=
-
i
∂
∂
ϕ
.
Hamiltonian trong hệ trong tọa độ cực bây giờ là
H
e
=
-
1
2
m
e
*
∂
2
∂
r
2
+
1
r
∂
∂
r
+
1
r
2
∂
2
∂
ϕ
+
1
2
m
e
*
Ω
e
2
r
2
-
i
2
ω
c
e
∂
∂
ϕ
.
Ta đi tìm hàm riêng Ψnm(r,ϕ)=Φm(ϕ)Rnm(r) có dạng
Ta thấy ngay nghiệm Φm(ϕ) có dạng
Φ
m
(
ϕ
)
=
C
e
i
m
ϕ
C là hệ số chuẩn hóa
∫
0
2
π
|
Φ
m
(
ϕ
)
|
2
d
ϕ
=
C
2
∫
0
2
π
e
i
m
ϕ
e
-
i
m
ϕ
=
1
→
C
=
1
2
p
.
Do đó
Φ
m
(
ϕ
)
=
1
2
π
e
i
m
ϕ
.
m là số lượng tử momen góc lzΦm(ϕ)=mΦm(ϕ).
Do đó phương trình cho Rnm(r) có dạng
∂
2
∂
r
2
+
1
r
∂
∂
r
-
m
2
r
2
-
m
e
*
2
Ω
e
2
r
2
-
m
e
*
ω
c
e
m
+
2
m
e
*
ϵ
n
m
R
n
m
(
r
)
=
0
.
Ta tìm nghiệm Rnm(r)=χnm(r)r|m|
Thay vào phương trình trên ta được
χ
n
m
'
'
(
r
)
+
(
2
|
m
|
+
1
)
χ
n
m
'
(
r
)
r
+
(
-
m
e
*
2
Ω
e
2
r
2
-
m
e
*
ω
c
e
m
+
2
m
e
*
ϵ
n
m
)
χ
n
m
(
r
)
=
0
.
Đặt ξ=r2,
ta lại được phương trình
4
ξ
χ
n
m
'
'
(
ξ
)
+
4
(
|
m
|
+
1
)
χ
n
m
'
(
ξ
)
+
(
-
m
e
*
2
Ω
e
2
ξ
-
m
e
*
ω
c
e
m
+
2
m
e
*
ϵ
n
m
)
χ
n
m
(
ξ
)
=
0
.
Đặt η=me*Ωeξ,
η
χ
n
m
'
'
(
η
)
+
(
|
m
|
+
1
)
χ
n
m
'
(
η
)
-
η
4
χ
n
m
(
η
)
+
ϵ
n
m
2
Ω
e
-
m
4
ω
c
e
Ω
e
χ
n
m
(
η
)
=
0
.
Đặt χnm(η)=L(η)e(-12η),
và chúng ta có phương trình
η
L
'
'
(
η
)
+
(
|
m
|
+
1
-
η
)
L
'
(
η
)
+
-
1
2
(
|
m
|
+
1
)
-
m
4
ω
c
e
Ω
e
+
ϵ
n
m
2
Ω
e
L
(
η
)
=
0
.
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm (điều kiện lượng tử )
-
(
|
m
|
+
1
)
2
-
m
4
ω
c
e
Ω
e
+
ϵ
n
m
2
Ω
e
=
n
n
phải
là
số
nguyên
do đó ta tính được ϵnm
ϵ
n
m
=
2
Ω
e
n
+
|
m
|
+
1
2
+
m
4
ω
c
e
Ω
e
Vậy ta phương trình
η
L
'
'
η
+
(
|
m
|
+
1
-
η
)
L
'
(
η
)
+
n
L
(
η
)
=
0
Đây là phương trình cho đa thức Laguerre
L
(
η
)
≡
L
n
|
m
|
(
η
)
n
là
số
nguyên
Vậy ta có nghiệm Rnm(r)
R
n
m
(
r
)
=
χ
n
m
(
r
)
r
|
m
|
=
L
n
|
m
|
(
η
)
e
-
1
2
η
r
|
m
|
=
L
n
|
m
|
(
m
e
*
Ω
e
ξ
)
e
-
1
2
m
e
*
Ω
e
ξ
r
|
m
|
=
L
n
|
m
|
(
m
e
*
Ω
e
r
2
)
e
-
1
2
m
e
*
Ω
e
r
2
r
|
m
|
Với hệ số chuẩn hóa A
R
n
m
(
r
)
=
A
r
|
m
|
e
-
1
2
m
e
*
O
e
r
2
L
n
|
m
|
(
m
e
*
O
e
r
2
)
Đặt ae=me*Oe
Điều kiện chuẩn hóa
∫
0
∞
r
d
r
|
R
n
m
(
r
)
|
2
=
1
1
=
A
2
1
2
α
e
2
(
|
m
|
+
1
)
∫
0
∞
y
|
m
|
e
-
y
L
n
|
m
|
(
y
)
d
y
=
A
2
1
2
α
e
2
(
|
m
|
+
1
)
(
n
+
|
m
|
)
!
n
!
→
A
=
2
n
!
(
n
+
|
m
|
)
!
α
e
|
m
|
+
1
Vậy ta có hàm sóng của điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường
Ψ
n
e
m
e
(
r
e
ϕ
e
)
=
1
2
π
e
i
m
e
ϕ
e
2
n
e
!
(
n
e
+
|
m
e
|
)
!
α
e
(
α
e
r
e
)
|
m
e
|
e
-
(
α
e
r
e
)
2
2
L
n
e
|
m
e
|
(
(
α
e
r
e
)
2
)
Với năng lượng riêng
ϵ
n
m
=
Ω
e
2
n
e
+
|
m
e
|
+
1
+
1
2
m
e
ω
c
e
trong đó
α
e
=
m
e
*
Ω
e
Ω
e
=
ω
e
2
+
1
4
ω
c
e
2
ω
c
e
=
e
B
m
e
*
Một cách giải hoàn toàn tương tự ta có hàm sóng của lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường
Ψ
n
h
m
h
(
r
h
ϕ
h
)
=
1
2
π
e
i
m
h
ϕ
h
2
n
h
!
(
n
h
+
|
m
h
|
)
!
α
h
(
α
h
r
h
)
|
m
h
|
e
-
(
α
h
r
h
)
2
2
L
n
h
|
m
h
|
(
(
α
h
r
h
)
2
)
Với năng lượng riêng
ϵ
n
m
=
Ω
h
2
n
h
+
|
m
h
|
+
1
-
1
2
m
h
ω
c
h
trong đó
α
h
=
m
h
*
Ω
h
Ω
h
=
ω
h
2
+
1
4
ω
c
h
2
ω
c
h
=
e
B
m
h
*
Hệ hàm cơ sở mà ta chọn là hàm sóng của một điện tử và một lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường. Từ hệ hàm cơ sở này ta có thể tính các yếu tố ma trận của các đại lượng vật lý mà ta quan tâm.
