Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Mệnh đề

Nếu T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ là hai biểu diễn tương đương thì ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở trong hai không gian vectơ L₁ và L₂ thực hiện hai biểu diễn này thế nào để các yếu tố ma trận của các phép biến đổi T⁽¹⁾(a) và T⁽²⁾(a) hoàn toàn trùng nhau với mọi a size 12{ in } {}G.

Chứng minh. Giả sử e₁, …, e_n là hệ vectơ cơ sở trong không gian L₁ và trong hệ này phép biến đổi T⁽¹⁾(a) có các yếu tố ma trận Dij(1)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) } {}:

Trong không gian vectơ L₂ ta hãy chọn hệ vectơ cơ sở: fi, i = 1, 2, …, n như sau

và ký hiệu các yếu tố ma trận của phép biến đổi T⁽²⁾(a) đối với hệ vectơ cơ sở này là Dij(2)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) } {}:

Thay T⁽²⁾(a) bằng biểu thức (1) liên hệ nó với T⁽¹⁾(a)

X T⁽¹⁾(a) X^-1fi = fjDji(2)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ji"} } rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) } {}

rồi nhân cả hai vế công thức này với X^-1 , ta có

Nhưng theo định nghĩa (40) của f_i , ta lại có

Vậy công thức (42) trở thành

So sánh hai biểu thức (39) và (40) của T⁽¹⁾(a) e_i , ta suy ra ngay

Dji(2)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ji"} } rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) } {}= Dji(1)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ji"} } rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) } {},

nghĩa là các yếu tố ma trận Dij(1)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) } {}và Dij(2)(a) size 12{D rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) } {}của hai phép biến đổi T⁽¹⁾(a) và T⁽²⁾(a) đối với các hệ vectơ cơ sở e₁, e₂, …, en và f₁, f₂, …, f_n hoàn toàn trùng nhau.

Chính vì có thể chọn các vectơ cơ sở một cách thích hợp để cho các biểu diễn tương đương có chung nhau các yếu tố ma trận, cho nên ta không cần phân biệt các biểu diễn tương đương và xem chúng như là một biểu diễn. Chỉ có các biểu diễn không tương đương mới thực sự là những biểu diễn khác nhau.

Định lý 1

Trong không gian L thực hiện biểu diễn unita T của nhóm G phần phụ trực giao L₂ của mọi không gian con bất biến L ₁

T(a) L₁L₁, ∀a∈G size 12{ forall A` in `G} {}

L = L₁⊕ size 12{⊕} {}L₂

cũng là một không gian con bất biến,

T(a) L₂L₂, ∀a∈G size 12{ forall A` in `G} {}

Chứng minh. Ta sử dụng tính chất unita của các toán tử T(a) với mọi yếu tố A∈G size 12{A` in `G} {}. Ký hiệu tích vô hướng của hai vectơ x và y là (x, y), ta luôn luôn có đẳng thức

Giả sử L₁ là một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử T(a):

T(a) L₁L₁, ∀A∈G size 12{ forall A` in `G} {}

và ký hiệu L₂ là phần phụ trực giao của L₁ trong L:

L = L₁⊕ size 12{⊕} {}L₂

(x₁, x₂) = 0, ∀x1∈L1 size 12{ forall x rSub { size 8{1} } ` in `L rSub { size 8{1} } } {}, ∀x2∈L2 size 12{ forall x rSub { size 8{2} } ` in `L rSub { size 8{2} } } {}

Ta hãy chọn

x = T(a)^-1x₁, y = x₂

với x₁, x₂ là hai vectơ bất kỳ trong các không gian con L₁ và L₂. Đẳng thức (45) viết ở trên trở thành

Vì L₁ là không gian con bất biến cho nên T(a)^-1x₁ cũng thuộc vào L₁ và do đó trực giao với vectơ x₂ bất kỳ của L₂,

(T(a)^-1x₁, x₂) = 0

Dùng hệ thức (46) ta suy ra rằng

(x₁, T(a)x₂) = 0, ∀x1∈L1 size 12{ forall x rSub { size 8{1} } ` in `L rSub { size 8{1} } } {}, ∀x2∈L2 size 12{ forall x rSub { size 8{2} } ` in `L rSub { size 8{2} } } {}, ∀A∈G size 12{ forall A` in `G} {}.

Vậy tất cả các vectơ T(a)x₂ với mọi yếu tố a của G và mọi vectơ x₂ của L₂ đều trực giao với tất cả các vectơ x₁ của L₁, nghĩa là đều thuộc vào L₂,

T(a) L₂L₂,

L₂ cũng là không gian con bất biến của biểu diễn T.

Ta hãy dùng Định lý 1 như một bổ đề để chứng minh định lý về tính chất hoàn toàn khả quy của mọi biểu diễn unita khả quy.

Định lý 2

Mọi biểu diễn unita khả quy đều hoàn toàn khả quy.

Chứng minh. Cho biểu diễn unita khả quy T trong không gian L và giả sử L₁ là một không gian con bất biến. Khi đó phần phụ trực giao L₂ của L₁ trong L cũng là một không gian con bất biến, L là tổng trực giao của hai không gian con bất biến L₁ và L₂. Trên hai không gian con này biểu diễn T quy về hai biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ hoàn toàn độc lập với nhau. Nếu một trong hai biểu diễn này hoặc cả hai biểu diễn đó còn khả quy thì không gian con tương ứng lại chứa không gian con bất biến nhỏ hơn và do đó lại là tổng trực giao của hai không gian con bất biến nhỏ hơn. Cứ tiếp tục thực hiện việc tách một không gian thành tổng trực giao của hai không gian con bất biến như vậy cho đến khi không còn có thể tách được nữa, cuối cùng ta đi đến việc tách không gian L thành tổng trực giao của các không gian con bất biến L1~ size 12{ {L rSub { size 8{1} } } cSup { size 8{ "~" } } } {}, L2~ size 12{ {L rSub { size 8{2} } } cSup { size 8{ "~" } } } {}, …, Lf~ size 12{ {L rSub { size 8{f} } } cSup { size 8{ "~" } } } {}thực hiện các biểu diễn tối giản T(1)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( 1 ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}, T(2)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( 2 ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}, …, T(f)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( f ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}.

Ta còn nói rằng biểu diễn khả quy T là tổng trực giao của các biểu diễn tối gian T(1)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( 1 ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}, T(2)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( 2 ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}, …, T(f)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( f ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {} và viết

T = T(1)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( 1 ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}⊕ size 12{⊕} {}T(2)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( 2 ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}⊕ size 12{⊕} {} … ⊕ size 12{⊕} {}T(f)~ size 12{ {T rSup { size 8{ ( f ) } } } cSup { size 8{ "~" } } } {}.

Vì các biểu diễn unita có tính chất diễn tả bởi Định lý 2 cho nên khi nghiên cứu các biểu diễn unita ta chỉ cần xét các biểu diễn tối giản.

Ở đầu chương này ta đã định nghĩa các biểu diễn tương đương và coi các biểu diễn tương đương với nhau chỉ là một biểu diễn. Do các tính chất đặc biệt của các biểu diễn unita, khi có một biểu diễn nào đó của một nhóm thì ta hãy tìm xem nó có tương đương với một biểu diễn unita nào hay không. Đầu tiên ta hãy xét trường hợp G là một nhóm hữu hạn và chứng minh định lý sau đây.

Định lý 3

Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita.

Chứng minh. Giả sử có một nhóm hữu hạn G nào đó cấp N và một biểu diễn T của nhóm này trong một không gian Euclide phức L với một tích vô hướng có dạng cho trước (x, y). Đầu tiên ta hãy chứng minh rằng có thể tìm được một định nghĩa mới của tích vô hướng, ký hiệu là x,y size 12{ left lbrace x,`y right rbrace } {}, mà đối với tích vô hướng này thì tất cả các toán tử T(a) với mọi a size 12{ in } {}G đều là các toán tử unita:

T(a)x,T(a)y size 12{ left lbrace T ( a ) x,`T ( a ) y right rbrace } {} = x,y size 12{ left lbrace x,`y right rbrace } {}, ∀A∈G size 12{ forall A` in `G} {}, ∀x∈L size 12{ forall x` in `L} {}, ∀y∈L size 12{ forall y` in `L} {}

Thực vậy, ta đặt

với tổng ở trong vế phải là tổng theo tất cả các yếu tố b của nhóm G. Thay thế x và y bằng T(a)x và T(a)y, ta có

T(a)x,T(a)y size 12{ left lbrace T ( a ) x,`T ( a ) y right rbrace } {} = 1N size 12{ { {1} over {N} } } {}∑bT(b)T(a)x,T(b)T(a)y size 12{ Sum cSub { size 8{b} } {T ( b ) ``T ( a ) `x,`T ( b ) `T ( a ) `y} } {} = 1N size 12{ { {1} over {N} } } {}∑bT(ba)x,T(ba)y size 12{ Sum cSub { size 8{b} } {T ( ital "ba" ) `x,`T ( ital "ba" ) `y} } {}

Ta đã dùng định nghĩa của biểu diễn

T(b)T(a) = T(ba)

Chú ý rằng khi b chạy một vòng theo tất cả các yếu tố của nhóm G thì với mọi yếu tố a cố định tích b a cũng chạy một vòng theo tất cả các yếu tố của nhóm này, chỉ có điều là theo thứ tự khác mà thôi. Do đó

∑bT(ba)x,T(ba)y size 12{ Sum cSub { size 8{b} } {T ( ital "ba" ) `x,`T ( ital "ba" ) `y} } {} = ∑baT(ba)x,T(ba)y size 12{ Sum cSub { size 8{ ital "ba"} } {T ( ital "ba" ) `x,`T ( ital "ba" ) `y} } {} = ∑cT(c)x,T(c)y size 12{ Sum cSub { size 8{c} } {T ( c ) `x,`T ( c ) `y} } {}

Vậy ta có

T(ba)x,T(ba)y size 12{T ( ital "ba" ) `x,`T ( ital "ba" ) `y} {} = 1N size 12{ { {1} over {N} } } {}∑cT(c)x,T(c)y size 12{ Sum cSub { size 8{c} } {T ( c ) `x,`T ( c ) `y} } {} = x,y size 12{ left lbrace x,`y right rbrace } {},

nghĩa là đối với tích vô hướng mới thì tất cả các toán tử T(a) đều là hoán tử unita.

Trong không gian L ta hãy chọn hai hệ vectơ đơn vị cơ sở: hệ các vectơ đơn vị cơ sở e₁, …, e_n trực giao chuẩn hóa đối với tích vô hướng cho từ trước (x, y), cụ thể là

và hệ các vectơ đơn vị cơ sở f₁, …, f_n trực giao chuẩn hóa đối với tích, vô hướng mới, nghĩa là

Ký hiệu phép biến đổi tuyến tính chuyển các vectơ e₁, e₂, …, e_n thành f₁, f₂, …, f_n là X :

Với hai vectơ bất kỳ

X = x _i e _i , y = y _i e _i

ta có

X x = x_i f_i , X y = y_i f_i

Do đó

Với mọi yếu tố a của nhóm G ta đặt

Ta biết rằng T(a) là các hoán tử unita đối với tích vô hướng mới. Bây giờ ta chứng minh rằng tất cả các toán tử T~(a) size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `} {} đều là các toán tử unita đối với tích vô hướng x,y size 12{ left lbrace x,`y right rbrace } {} đã cho từ trước. Thực vậy, áp dụng đẳng thức (51) vừa thu được ở trên giữa các tích vô hướng (x, y) và Xx,Xy size 12{ left lbrace X`x,`X`y right rbrace } {}, dùng công thức

XT~(a) size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `} {} = T(a) X

suy ra từ định nghĩa (52) và tính chất unita của các toán tử T(a) đối với tích vô hướng mới, ta có

( T~(a) size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `} {} x, T~(a) size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `} {} y) = XT~(a)x,XT~(a)y size 12{ left lbrace X` {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `x,`X` {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `y right rbrace } {} = T~(a)Xx,T~(a)Xy size 12{ left lbrace ` {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `X`x,`` {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `X`y right rbrace } {}

= Xx,Xy size 12{ left lbrace `X`x,``X`y right rbrace } {} = (x, y)

Vậy các toán tử T~(a) size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } ( a ) `} {} là các toán tử unita đối với tích vô hướng đã cho từ trước và tạo thành một biểu diễn unita T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}; biểu diễn đã cho T tương đương với biểu diễn unita này.

Khi chứng minh Định lý 3 ta đã sử dụng một đại lượng là tích vô hướng mới mà đối với tích vô hướng này thì biểu diễn đã cho T là biểu diễn unita. Rất dễ tìm được tích vô hướng mới này trong trường hợp nhóm G là nhóm hữu hạn cấp N. Đó là giá trị trung bình

1 N size 12{ { {1} over {N} } } {} ∑ a f x , y ( a ) size 12{ Sum cSub { size 8{a} } {f rSub { size 8{x,`y} } ` ( a ) } } {}

của hàm trên nhóm G

nghĩa là của một hàm mà biến số là yếu tố a chạy trên tất cả nhóm G. Ta chú ý rằng đối với nhóm hữu hạn ta có công thức sau đây đối với mọi hàm trên nhóm f(a):

với mọi yếu tố b cố định của nhóm G

Muốn chứng minh định lý tương tự như Định lý 3 đối với các nhóm vô hạn, kể cả các nhóm liên tục, ta phải mởi rộng khái niệm giá trị trung bình của hàm trên nhóm ra cho trường hợp này và sử dụng một đại lượng gọi là phiếm hàm trung bình.

Định nghĩa phiếm hàm trung bình trên nhóm

Cho không gian vectơ các hàm f (a) trên nhóm G vô hạn (có thể là nhóm liên tục). Một phiếm hàm tuyến tính F(f) trên không gian vectơ này được gọi là phiếm hàm trung bình nếu nó tồn tại đối với mọi hàm giới nội trên nhóm và thỏa mãn các điều kiện sau đây.

1) nếu f(a) > 0, ∀a∈G size 12{ forall A` in `G} {}, thì F(f) > 0.

2) nếu f(a) = 1, ∀a∈G size 12{ forall A` in `G} {}, thì F(f) = 1.

3) nếu fb(a) = f(ba), và f~b(a) size 12{ {f} cSup { size 8{ "~" } } rSub { size 8{b} } ( a ) } {} = f(ba), thì F(fb) = F(f~b) size 12{ ( {f} cSup { size 8{ "~" } } rSub { size 8{b} } ) } {} = f(b).

Điều kiện 3) có nghĩa là khi ta xê dịch đổi số a của hàm trên nhóm f (a) như sau

a→ size 12{ rightarrow } {}ab và a→ size 12{ rightarrow } {}ba,

trong đó b là yếu tố tùy ý của G, thì giá trị F (f) của phiếm hàm không thay đổi. Do đó ta còn gọi phiếm hàm này là tích phần bất biến và dùng ký hiệu tích phân

với một đọ đo dμ(a) size 12{dμ ( a ) } {} nào đó. Tính chất bất biến của phiếm hàm được thể hiện ở tính chất bất biến của độ đo:

với mọi yếu tố cố định bG.

Dùng tích phân bất biến của hàm trên nhóm fx,y(a), tức là phiếm hàm trung bình F(fx,y), làm giá trị trung bình, bây giờ ta có thể định nghĩa tích vô hướng mới như sau trong trường hợp nhóm G là nhóm vô hạn

Vì độ đo dμ(a) size 12{dμ ( a ) } {} là bất biến cho nên đối với tích vô hướng mới nà tất cả các toán tử T(b) đều là toán tử unita:

(T(b)x,T(b)y size 12{ left lbrace ( T ( b ) x`,`T ( b ) y right rbrace } {} = ∫G(T(a)T(b)x,(T(a)T(b)ydμ(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( a ) `T ( b ) x,` ( T ( a ) `T ( b ) y} `dμ ( a ) } {}

= ∫G(T(ab)x,(T(ab)ydμ(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( ital "ab" ) x,` ( T ( ital "ab" ) y} `dμ ( a ) } {}= ∫G(T(ab)x,(T(ab)ydμ(ab) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( ital "ab" ) x,` ( T ( ital "ab" ) y} `dμ ( ital "ab" ) } {}

= ∫G(T(c)x,(T(c)ydμ(c) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( c ) x,` ( T ( c ) y} `dμ ( c ) } {}= x,y size 12{ left lbrace x,`y right rbrace } {}

Vậy ta có định lý sau đây.

Định lý 4

Cho một nhóm vô hạn G (có thể là nhóm liên tục). Nếu với mọi hàm giới nội f(a) trên nhóm G tồn tại phiếm hàm trung bình F(f), tức là tồn tại tích phân bất biến

∫G(f(a)dμ(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( f ( a ) } `dμ ( a ) } {} ,

thì mọi biểu diễn của nhóm G đều tương đương với một biểu diễn unita.

Chứng minh. Ta dùng phiếm hàm trung bình F(fx,y) làm tích vô hướng mới x,y size 12{ left lbrace x,`y right rbrace } {} rồi lặp lại tất cả các lập luận giống như khi chứng minh Định lý 3.

Trước khi kết thúc đoạn này ta hãy dẫn ra đây một vài thí dụ về phiếm hàm trung bình.

Định lý 5 (Bổ đề Shur 1)

Nếu trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T của nhóm G có một toán tử A khác không và giao hoán với tất cả các toán tử T(a) của biểu diễn T, ∀ a ∈ G size 12{ forall `a` in `G} {} , thì toán tử A phải là bội của toán tử đơn vị

Chứng minh. Toán tử A khác không có ít nhất một vectơ riêng r trong không gian L:

A r = α size 12{α} {}r

Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng α size 12{α} {} tạo thành một không gian con L_{α size 12{α} {}} của L. Ta hãy chứng minh rằng L_{α size 12{α} {}} bất biến đối với mọi phép biến đổi T(a) của biểu diễn T:

T(a) L_{α size 12{α} {}}L_{α size 12{α} {}} , ∀a∈G size 12{ forall `a` in `G} {}

Thực vậy, cho r là một vectơ con tùy ý trong L_{α size 12{α} {}} và hãy xét tất cả các vectơ T(a)r, ∀a∈G size 12{ forall `a` in `G} {}. Tác dụng toán tử A lên các vectơ này, dùng giả thiết về sự giao hoán của A với tất cả các toán tử T(a) và chú ý rằng r là vectơ riêng của A với giá trị riêng α size 12{α} {}, ta có

A(T(a)r) = AT(a)r = T(a)Ar = T(a) α size 12{α} {}r = α size 12{α} {}(T(a))r.

Kết quả này chứng tỏ rằng T(a)r cùng là các vectơ riêng của A cùng một giá trị riêng α size 12{α} {}. Vậy L_{α size 12{α} {}} quả thực là một không gian con bất biến. Nhưng theo giả thiết thì biểu diễn T trong không gian L lại là biểu diễn tối giản, L không thể chứa không gian con bất biên nào khác không và khác L. Vậy L_{α size 12{α} {}} khác không thì phải trùng với L, nghĩa là mọi vectơ trong không gian đã cho L đề là vectơ riêng của toán tử A với cùng một giá trị riêng _{α size 12{α} {}} . A phải là bội của toán tử đơn vị.

Định nghĩa tích vô hướng của hai hàm trên nhóm

Các hàm trên nhóm có thể được coi là các vectơ trong một không gian tuyến tính và ta định nghĩa tích vô hướng của hai hàm trên nhóm ϕ size 12{ϕ} {} và ψ size 12{ψ} {}, tức là của hai vectơ trong không gian các hàm trên nhóm, như sau

Áp dụng định nghĩa này cho các hàm trên nhóm được sinh ra bởi một biểu diễn tối giản, ta có định lý sau đây.

Định lý 6

Một biểu diễn T unita tối giản thứ nguyên d của nhóm G sinh ra d 2 hàm trên nhóm T_ij (a), a size 12{ in } {} G, thỏa mãn hệ thức

Chứng minh. Hãy lấy một toán tử tuyến tính B bất kỳ trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T rồi thiết lập các toán tử

T(a) BT(a^-1), a size 12{ in } {}G,

với các yếu tố ma trận là các hàm trên nhóm, và lấy tích phân (bất biến) toán tử này theo a trên nhóm G. Ta thu được toán tử sau đây

Ta hãy chứng minh rằng toán tử A giao hoán với mọi phép biến đổi T(a). Thực vậy, với mọi yếu tố a của nhóm G ta có

T(a) AT(a)^-1 = T(a) AT(a^-1) = ∫G(T(a)T(b)BT(b−1)T(a−1)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( a ) `T ( b ) `B`T ( b rSup { size 8{ - 1} } ) `T ( a rSup { size 8{ - 1} } ) `} `dμ ( b ) } {}

= ∫G(T(ab)BT(b−1a−1)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( ital "ab" ) `B`T ( b rSup { size 8{ - 1} } a rSup { size 8{ - 1} } ) `} `dμ ( b ) } {}= ∫G(T(ab)BT((ab)−1)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( ital "ab" ) `B`T ( ( ital "ab" ) rSup { size 8{ - 1} } ) `} `dμ ( b ) } {}

Vì rằng độ đo dμ(b) size 12{dμ ( b ) } {} là bất biến,

dμ(b) size 12{dμ ( b ) } {} = dμ(ab) size 12{dμ ( ital "ab" ) } {},

cho nên ta có thể thay nó bằng dμ(ab) size 12{dμ ( ital "ab" ) } {} rồi đổi biến số tích phân, đặt ab = c, và có

T(a) AT(a)^-1 = ∫G(T(c)BT(c−1)dμ(c) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T ( c ) `B`T ( c rSup { size 8{ - 1} } ) } `dμ ( c ) } {}

nghĩa là

T(a) AT(a)^-1 = A, ∀a∈G size 12{ forall `a` in `G} {}

Nhân cả hai vế của hệ thức này với T(a) từ bên phải, ta thu được

T(a) A = AT(a), ∀a∈G size 12{ forall `a` in `G} {}

Vậy sự giao hoán của A với mọi toán tử T(a) đã được chứng minh. Bây giờ ta áp dụng Bổ để Shur 1. Theo giả thiết T là một biểu diễn tối giản. Toán tử A giao hoán với tất cả các toán tử T(a) của biểu diễn này phải là bội của toán tử đơn vị

A = α size 12{α} {}I

Phối hợp hệ thức này với công thức (60), ta thu được hệ thức

hay là dưới dạng tường minh các yếu tố ma trận

Biểu diễn T có thứ nguyên bằng d cho nên các chỉ số i, j,k, l trong công thức (62) chạy theo các số nguyên dương từ 1 đến d. Lấy vết của cả hai vế công thức (61), nghĩa là đặt i = l trong cả hai vế của công thức (62) rồi cộng theo i từ 1 đến d ta có

B_jk∫G(Tki(b−1)Tij(b−1b)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } { ( T rSub { size 8{ ital "ki"} } ( b rSup { size 8{ - 1} } ) ``T rSub { size 8{ ital "ij"} } ( b rSup { size 8{ - 1} } b ) } `dμ ( b ) } {}= α size 12{α} {}d

Chú ý rằng

T _ki (b -1 )T _ij (b) = T _kj (b -1 b)=T _kj (e) = δ kj size 12{δ rSub { size 8{ ital "kj"} } } {}

và

∫Gdμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {} `dμ ( b ) } {} = 1

ta thu được

α size 12{α} {}= 1d size 12{ { {1} over {d} } } {}B_ii = 1d size 12{ { {1} over {d} } } {} Tr B

Vậy công thức (62) có thể viết lại như sau

Theo giả thiết T là một biểu diễn unita, do đó

T(b^-1) = T(b)^-1 = T(b)⁺

nghĩa là

Tkl(b^-1) = Tlk(b)^*

Thay vào vế trái công thức (63), ta thu được

Công thức này đúng đối với mọi ma trận B. Ta hãy chọn B là một ma trận đặc biệt có yếu tố ma trận Bij bằng 1 khi i = p và j = q với hai số nguyên dương p và 1 nào đó nhờ hơn hoặc bằng d, còn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng không,

Ta có

Tr B = δpq size 12{δ rSub { size 8{ ital "pq"} } } {}

Khi đó công thức (64) trở thành

∫GTlq(b)∗Tip(b)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSub { size 8{ ital "lq"} } ( b ) *`T rSub { size 8{ ital "ip"} } ( b ) } `dμ ( b ) } {}= 1dδilδpq size 12{ { {1} over {d} } δ rSub { size 8{ ital "il"} } δ rSub { size 8{ ital "pq"} } } {}

Đó là công thức (59). Vậy định lý đã được chứng minh.

Định lý 6 có thể được chứng minh một cách tương tự đối với các nhóm hữu hạn. Trong trường hợp này tích phân bất biến của hàm trên nhóm được thay bằng một đại lượng tương tự là giá trị trung bình của hàm trên nhóm

∫GTij(a)*Kkl(a)dμ(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSub { size 8{ ital "ij"} } ( a ) *`K rSub { size 8{ ital "kl"} } ( a ) } `dμ ( a ) } {}→ size 12{ rightarrow } {}1N size 12{ { {1} over {N} } } {}∑aTij(a)*Tkl(a) size 12{ Sum cSub { size 8{a} } {T rSub { size 8{ ital "ij"} } ( a ) *} T rSub { size 8{ ital "kl"} } ( a ) } {},

trong đó N là số yếu tố của nhóm hữu hạn. Theo định lý 6 ta có d² hàm trên nhóm T_ij(a) trực giao với nhau và do đó độc lập tuyến tính với nhau. Vì số hàm độc lập tuyến tính trên nhóm hữu hạn cấp N nhiều nhất cũng chỉ bằng N, cho nên d ² N. Vậy dịnh lý 6 đối với nhóm hữu hạn có hệ quả sau đây.

Hệ quả

Thứ nguyên d của mọi biểu diễn tối giản của một nhóm hữu hạn cấp N bao giờ cũng thoả mãn hệ thức

d ² N.

Bây giờ ta hãy mở rộng Định lý 6 ra cho trường hợp các hàm trên nhóm được sinh ra bởi hai biểu diễn tối giản không tương đương. Giống như khi chứng minh Định lý 6, ta cần bổ đề sau đây.

Định lý 7 (Bổ đề Shur 2)

Cho T(1) và T(2) là hai biểu diễn tối giản không tương đương của nhóm G trong các không gian vectơ L1 và L2, T(1)(a) và T(2)(a) là các phép biến đổi trong L1 và L2, tương ứng với yếu tố a∈G size 12{a` in ``G} {}, A là một toán tử tuyến tính chuyển các vectơ trongL₂ thành các vectơ trong L₁. Nếu với mọi yếu tố a của nhóm G toán tử A thoả mãn hệ thức:

thì A phải bằng không.

Chứng minh. Gọi thứ nguyên của không gian L₁ là d₁, thứ nguyên của không gian L₂ là d₂. Có thể xảy ra ba trường hợp.

1) d₁ > d₂. Gọi M là miền giá trị của toán tử A, nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ r₁L₁ có dạng

trong đó r₂ là một vectơ bất kỳ của L₂. Ta viết

Thứ nguyên của M phải bé hơn hoặc bằng thứ nguyên của không gian L₂ và do đó phải bé hơn thứ nguyên d₁ của không gian L₁. Ta hãy chứng minh rằng M là một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử T⁽¹⁾(a), ∀A∈G size 12{ forall `A` in `G} {}. Thực vậy, mọi vectơ r1∈M size 12{r rSub { size 8{1} } ` in `M} {}đều có dạng xác định bởi công thức (66) và do đó theo hệ thức (65) ta có:

T⁽¹⁾(a) r₁ = T⁽¹⁾(a) Ar₂ = AT⁽²⁾(a) r₂.

Nhưng T⁽²⁾(a) r₂ cũng là một vectơ trong L₂ cho nên theo định nghĩa (67) ta có

AT⁽²⁾(a) r2M

Vậy với mọi vectơ r₁M vectơ T⁽¹⁾(a) r₁ cũng là một vectơ thuộc không gian con M,

T⁽¹⁾(a) r₁MM,

M là một không gian con bất biến đối với tất cả các phép biến đổi T⁽¹⁾(a). Ta lại biết rằng thứ nguyên của M nhỏ hơn thứ nguyên d₁ của không gian L₁. Nhưng theo giả thiết thì biểu diễn T⁽¹⁾ là một biểu diễn tối giản, không gian L₁ không thể có không gian con bất biến nào khác không mà có thứ nguyên nhỏ hơn d₁. Vậy ta phải có M = 0, nghĩa là A = 0.

2) d₁ < d₂. Vì toán tử tuyến tính A chuyển các vectơ trong không gian d₂ chiều thành các vectơ trong một không gian có số chiều d₁ nhỏ hơn, cho nên trong L₂ phải có ít nhất một vectơ r₂ nào đó mà

Gọi N là tập hợp tất cả các vectơ trong không gian L₂ thoả mãn điều kiện (68). Vì có ít nhất một vectơ thoả mãn điều kiện này nên N 0. Ta hãy chứng minh rằng N là không gian con bất biến đối với biểu diễn T⁽²⁾. Thực vậy, cho r₂ là vectơ bất kỳ trong N. Theo giả thiết (65) và định nghĩa (68) ta có

AT⁽²⁾(a) r₂ = T⁽¹⁾(a) A r₂ = 0

với mọi yếu tố a của nhóm G, tức là tất cả các vectơ T⁽²⁾(a) r₂ cũng thuộc vào N. Vậy

T⁽²⁾(a) N N, ∀ size 12{ forall } {}a∈G size 12{a` in ``G} {},

N là không gian con bất biến khác không của L₂. Nhưng theo giả thiết biểu diễn T⁽²⁾ là biểu diễn tối giản. Vậy N phải trùng với L₂, nghĩa là mọi vectơ r₂ của L₂ đều thỏa mãn điều kiện (68). Ta suy ra rằng A=0.

3) d₁=d₂. Đầu tiên ta chú ý rằng A không thể có nghịch đảo, vì nếu A^-1 tồn tại thì hệ thức (65) cho ta ngay

T ( 2 ) ( a ) = A − 1 T ( 1 ) ( a ) A , ∀ a ∈ G , size 12{T rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) =A rSup { size 8{ - 1} } T rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) A, forall a in G,} {}

nghĩa là hai biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ tương đương với nhau, trái với giả thiết. Vì rằng A không có nghịch đảo cho nên miền giá trị M của A phải có thứ nguyên nhỏ hơn d₂ = d₁. Lý luận giống như trong trường hợp 1), ta thấy rằng M phải là một không gian con bất biến khác với L₁. Vì biểu diễn T⁽¹⁾ là tối giản, theo giả thiết, cho nên M phải bằng không, M = 0. Vậy A = 0.

Bây giờ ta hãy áp dụng Bổ để Shur 2 để chứng minh định lý sau đây.

Định lý 8

Hai biểu diễn unita tối giản không tương đương nhau T ( α size 12{α} {} ) và T ( β size 12{β} {} ) sinh ra hai hệ hàm trên nhóm T ij α ( a ) size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{α} } ( a ) } {} và T kl β ( a ) size 12{T rSub { size 8{ ital "kl"} } rSup { size 8{β} } ( a ) } {} trực giao với nhau, nghĩa là thoả mãn hệ thức

Chứng minh. Gọi Lα size 12{L rSub { size 8{α} } } {} và Lβ size 12{L rSub { size 8{β} } } {}là hai không gian vectơ thực hiện các biểu diễn tối giản T^{(α size 12{α} {})} và T^{(β size 12{β} {})}, B là một toán tử tuyến tính nào đó chuyển các vectơ của Lβ size 12{L rSub { size 8{β} } } {} thành các vectơ của Lα size 12{L rSub { size 8{α} } } {}. Đặt

A = ∫GT(α)BT(β)(b−1)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSup { size 8{ ( α ) } } } `B`T rSup { size 8{ ( β ) } } ( b rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( b ) } {},

và xét các tích T^{(α size 12{α} {})} (a) A, với mọi yếu tố a của nhóm G. Ta có

T^{(α size 12{α} {})} (a) A = ∫GT(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b−1)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSup { size 8{ ( α ) } } ( a ) } `T rSup { size 8{ ( α ) } } ( b ) `B`T rSup { size 8{ ( β ) } } ( b rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( b ) } {}

= ∫GT(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b−1)T(β)(a−1)dμ(b)T(β)(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSup { size 8{ ( α ) } } ( a ) } `T rSup { size 8{ ( α ) } } ( b ) `B`T rSup { size 8{ ( β ) } } ( b rSup { size 8{ - 1} } ) `T rSup { size 8{ ( β ) } } ( a rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( b ) `T rSup { size 8{ ( β ) } } ( a ) } {}

= ∫GT(α)(ab)BT(β)((ab)−1)dμ(b)T(β)(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSup { size 8{ ( α ) } } ( ital "ab" ) } `B`T rSup { size 8{ ( β ) } } ( ( ital "ab" ) rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( b ) `T rSup { size 8{ ( β ) } } ( a ) } {}

= ∫GT(α)(ab)BT(β)((ab)−1)dμ(ab)T(β)(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSup { size 8{ ( α ) } } ( ital "ab" ) } `B`T rSup { size 8{ ( β ) } } ( ( ital "ab" ) rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( ital "ab" ) `T rSup { size 8{ ( β ) } } ( a ) } {}

= ∫GT(α)(c)BT(β)(c−1)dμ(c)T(β)(a) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSup { size 8{ ( α ) } } ( c ) } `B`T rSup { size 8{ ( β ) } } ( c rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( c ) `T rSup { size 8{ ( β ) } } ( a ) } {}

Vậy

T^{(α size 12{α} {})} (a) A = AT^{(β size 12{β} {})}(a), ∀a∈G size 12{ forall `a` in `G} {}

Theo Bổ đề Shur 2 toán tử A phải bằng không. Ta thu được công thức

hay là dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận

Nếu chọn B là ma trận chỉ có một yếu tố ma trận B_pq khác không, còn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng không, thì công thức (71) cho ta

∫GTip(α)(b)Tgl(β)(b−1)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSub { size 8{ ital "ip"} } rSup { size 8{ ( α ) } } ( b ) } `T rSub { size 8{ ital "gl"} rSup { size 8{ ( β ) } } } ( b rSup { size 8{ - 1} } ) `dμ ( b ) } {}= ∫GTlq(β)(b)*Tip(α)(b)dμ(b) size 12{ Int cSub { size 8{G} } {T rSub { size 8{ ital "lq"} } rSup { size 8{ ( β ) } } ( b ) } *``T rSub { size 8{ ital "ip"} rSup { size 8{ ( α ) } } } ( b ) `dμ ( b ) } {}= α≠β size 12{α` <> `β} {}

Đó chính là công thức (69). Vậy định lý đã được chứng minh.

Với các nhóm hữu hạn thì thay cho tích phân bất biến ta dùng giá trị trung bình của hàm trên nhóm và cũng có định lý tương tự.

Ta đã chứng minh được rằng các hàm trên nhóm được sinh ra bởi các biểu diễn tối giản không tương đương cũng như được sinh ra bởi cùng một biểu diễn tối giản đều là các hàm trực giao với nhau. Bây giờ hãy xét tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T^{(α size 12{α} {})}, α size 12{α} {} = 1, 2, …, f, của một nhóm hữu hạn G, và tập hợp tất cả các hàm Tij(α)(a) size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{ ( α ) } } ( a ) } {}được sinh ra bởi các biểu diễn này, i, j = 1, 2, …, d_{α size 12{α} {}}, d_{α size 12{α} {}} là thứ nguyên của biểu diễn T^{(α size 12{α} {})}. Mỗi hàm này có thể được xem là một vectơ trong không gian vectơ L tất cả các hàm ψ(a) size 12{ψ` ( a ) } {} trên nhóm G. Ta có định lý sau đây.

Định lý 9

Tập hợp tất cả các hàm T ij ( α )