Nghiệm và khoảng phân li nghiệm.

Sự tồn tại nghiệm của phương trình

Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a)f(b) < 0 (4.2)

Thì phương trình (4.1) có ít nhất một nghiệm trong khoảng [a,b].

Khoảng phân ly nghiệm

Địnhnghĩa. Khoảng [a,b] được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1) nếu nó chứa mộtvà chỉmộtnghiệm của phương trình đó.

Địnhlý. Nếu hàm số f(x) liêntục,đơnđiệu trên đoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì đoạn [a,b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1).

Ví dụ 1: Xét phương trình f(x) =x² - 2 =0

Ta thấy hàm số f(x) liên tục, và f'(x) = 2x.

Ta xét đoạn [1,2]. Ta có f(1) = -1; f(2) = 2. Vậy f(1)f(2)<0. Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu vì f'(x) = 2x >0 trên đoạn [1,2]. Vậy đoạn [1,2] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình trên. Tuy nhiên ví dụ sau đây chứng tỏ rằng điều kiện liên tục, đơn điệu chỉ là điều kiện đủ. Hàm số không đơn điệu trong một khoảng nào đó vẫn có thể chỉ có một nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2: Xét phương trình

f(x) = x3 - x -1 =0 (4.3)

Ta sẽ chứng tỏ rằng phương trình này có nghiệm thực và xác định khoảng phân ly nghiệm. Ta thấy hàm số f(x) liên tục, và f'(x) = 3x2 - 1 =0 tại

Ta có bảng biến thiên sau

Trong đó

Vậy đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và do đó phương trình (4.3) chỉ có một nghiệm duy nhất (Mặc dù trên đoạn [ ;2] hàm số không đơn điệu)

Ngoài ra theo bảng biến thiên ta có: hàm số f(x) liên tục,đơn điệu trên đoạn [1;2] và f(1) = 13 -1 -1 =-1 < 0

f(2) = 23 -2 -1 = 5 > 0

Tức là f(1)*f(2)<0

Vậy khoảng [1,2] chính là khoảng phân ly nghiệm

Ví dụ 3: Xét phương trình f(x) = x3 – 3x + 1= 0. Ta tính giá trị của hàm tại một số điểm đặt biệt và lập bảng sau

x	-2	-1	0	1	2	3
y	-1	3	1	-1	3	19

Ta nhận thấy phương trình có 3 nghiệm nằm trong các khoảng cách li nghiệm [-2,-1], [0,1] và [1,2].

Ví dụ 4: Xét phương trình f(x) = x3 – 5x2 + 12= 0 trong khoảng cách ly nghiệm [-2,-1] có nghiệm gần đúng x* = -1.37. Khi đó

Do đó:

Về vấn đề đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ

Cũng như các phương pháp gần đúng nói chung, khi tìm nghiệm gần đúng của phương trình siêu việt, ta thường thiết lập cả một dãy x0, x1,...,xn,... sao cho xn -> α khi n-> ∞, trong đó α là nghiệm đúng của phương trình (4.1). Do giả thiết liên tục của hàm f(x) ta có

Điều này có nghĩa là khi xn khá gần α thì f(xn) khá gần f(α) và có thể xem f(xn) ≈ 0, hay xn thực sự có thể xem là xấp xỉ của nghiệm.

Người ta thường cho trước số ε>0 đủ nhỏ và nếu |xn-α| ≤ ε (4.4)

thì chọn xn làm nghiệm xấp xỉ và dừng quá trình tính toán. Một câu hỏi đặt ra là với cách chọn như vậy thì f(xn) đã có thể thực sự xem là xấp xỉ của f(α) không, có bảo đảm rằng là khá gần 0 không? Cũng có lúc ta chỉ quan tâm là xn xấp xỉ α tốt như thế nào thôi, như trong ví dụ áp dụng tính 2 mà ta sẽ xét đến chẳng hạn, khi đó ta không cần quan tâm đến câu hỏi này lắm. Nhưng cũng có những trường hợp ta lại quan tâm là f(xn) có thể coi là gần 0 không, (Ví dụ để có thể bỏ qua trong quá trình tính toán) thì lúc này sự xấp xỉ của xn so với α chưa đủ, mà ta còn phải xét cả giá trị |f(xn)| nữa. Chính vì lý do này mà trong các bài trình tính toán chúng tôi đưa thêm điều kiện dừng về f(xn). Quá trình tính toán sẽ

dừng nếu điều kiện (4.4) và |f(xn)| < δ (4.5)

Ví dụ.

Ta xét 2 hàm sau đây:

và xét 2 phương trình

f(x) = 0 (4.6)

g(x) = 0 (4.7)

Ta có thể thấy rằng

Vì không tính được α = nên chúng ta sẽ dùng kết quả độ chính xác gấp đôi do máy tính thực hiện bằng hàm sqrt(2). Giá trị này vào khoảng 1.41421356237309551454746218. Ta định nghĩa dãy xn như sau

x0 =1 | x0 -α | < 0.5e+01

x1 =1.4 | x1 -α | < 0.5e-01

x2 =1.41 | x2 -α | < 0.5e-02

x3 =1.414 | x3 -α | < 0.5e-03

x4 =1. 4142 | x4 -α | < 0.5e-04

.......

Rõ ràng dãy xn hội tụ đến α.

Ta có bảng sau đây biểu diễn mối liên hệ giữa dãy xn, sai số trên dãy xn là εn, hàm f(xn) và hàm g(xn).

Rõ ràng nếu chỉ dựa vào độ lệch | xn -α |, hay trong thực tế là | xn - xn-1 | để chọn nghiệm xấp xỉ, ta sẽ có những kết quả rất khác biệt giữa 2 phương trình (4.6) và (4.7). Với phương trình (4.6) thì tất cả các giá trị xn trong bảng trên đều có thể xem là nghiệm gần đúng, và như vậy ε = 0.5 cũng là đủ. Ngược lại nếu ta nói rằng giá trị xn = 1.41 là nghiệm xấp xỉ của phương trình (4.7) với độ chính xác 0.5% thì rõ ràng không ổn, vì giá trị g(1.41) =10 còn là giá trị quá lớn so với 0. Thậm chí khi ε đạt độ chính xác 0.0005 thì g(1.4142) = 0.03 vẫn còn lớn so với 0, nên nếu ta nói rằng 1.4142 là nghiệm xấp xỉ của (4.7) thì cũng không ổn.

Nếu bây giờ ta thay điều kiện (4.4) bằng điều kiện (4.5) thì ta không còn gặp điều phiền toái trên đây nữa. Với phương trình (4.6) ta chỉ cần chọn n rất bé là đủ, còn với phương trình (4.7) thì ta phải chọn n lớn hơn nếu muốn đạt được độ chính xác như mong muốn. Trong thực hành việc thử điều khiện (4.5) được thực hiện rất dễ dàng. Vì vậy chúng tôi nghĩ rằng trong những bài toán tìm nghiệm xấp xỉ ta nên thêm một cột f(xn), chúng ta sẽ thấy được tốc độ hội tụ đến 0 của f(xn) và vì vậy sẽ dừng bước tính toán ở thời điểm thích hợp hơn.

Định lý: (Công thức đánh giá sai số tổng quát) Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thỏa Nếu x* là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác p thì ta có công thức đánh giá sai số sau: