Lý thuyết phương trình đường thẳng

Lý thuyết phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa : 

vectơ (vec{u}) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆) nếu (vec{u}) ≠ (vec{0}) và giá của (vec{u}) song song hoặc trùng với (∆)

Nhận xét :

- Nếu (vec{u}) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆) thì (kvec{u} ( k≠ 0)) cũng là một vectơ chỉ phương của (∆) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0 ;y_0)) và nhận vectơ (vec{u}  = (u_1; u_2)) làm vectơ chỉ phương là :

(∆) : (left{egin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& y= y_{0}+tu_{2}& end{matrix} ight.)

-Khi hệ số (u_1≠ 0) thì tỉ số (k= frac{u_{1}}{u_{2}}) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0 ;y_0)) và có hệ số góc k là:

(y – y_0 = k(x – x_0))

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc (k = an α) với góc (α) là góc của đường thẳng (∆) hợp với chiều dương của trục (Ox)

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 

Định nghĩa: Vectơ (vec{n}) được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) nếu (vec{n})  ≠ (vec{0}) và (vec{n}) vuông góc với vectơ chỉ phương của (∆)

Nhận xét:

- Nếu (vec{n})  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) thì k(vec{n}) ((k ≠ 0)) cũng là một vectơ pháp tuyến của (∆), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình (ax + by + c = 0) với (a) và (b) không đồng thời bằng (0), được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.

Trường hợp đặc biết:

+  Nếu (a = 0 => y = frac{-c}{b};  ∆ // Ox)

+ Nếu (b = 0 => x = frac{-c}{a}; ∆ // Oy)

+ Nếu (c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆) đi qua gốc tọa độ

+ Nếu (∆) cắt (Ox) tại ((a; 0)) và (Oy) tại (B (0; b)) thì ta có phương trình đường thẳng (∆) theo đoạn chắn:

                (frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng  ∆₁ và ∆₂ 

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0

Điểm (M_0(x_0 ;y_0))) là điểm chung của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi ((x_0 ;y_0)) là nghiệm của hệ hai phương trình:

(1)  (left{egin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& end{matrix} ight.) 

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ = ∆₂

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Nếu ∆₁ vuông góc với  ∆₂ thì ta nói góc giữa ∆₁ và ∆₂bằng  90⁰  .Trường hợp  ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆₁ và ∆₂ bằng 0⁰. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  90⁰  

Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là (widehat{Delta _{1},Delta _{2}})

Cho hai đường thẳng  ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0 

                               ∆₂ =  a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰ 

Đặt (varphi) = (widehat{Delta _{1},Delta _{2}})

                  (cos  varphi) = (frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}})

Chú ý:

+ ({Delta _1} ot {Delta _2} Leftrightarrow {n_1} ot {n_2} Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0)

+ Nếu  ({Delta _1}) và ({Delta _2})  có phương trình y = k₁ x + m₁ và y = k₂ x + m₂ thì  

({Delta _1} ot {Delta _2} Leftrightarrow {k_1}.{k_2} =  - 1)

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình (ax+by+c-0) và điểm (M_0(x_0 ;y_0))).Khoảng cách từ điểm (M_0) đến đường thẳng  (∆) kí hiệu là ((M_0,∆)), được tính bởi công thức

                     (d(M_0,∆)=frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}})