Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (một ẩn) là đa thức có dạng f(x)...

1. Tam thức bậc hai (một ẩn) là đa thức có dạng (f(x) = { m{a}}{{ m{x}}^2} + bx + c) trong đó (x) là biến (a, b, c) là các số đã cho, với (a ≠ 0).

Định lí. Cho tam thức bậc hai (f(x) = { m{a}}{{ m{x}}^2} + bx + c(a e 0)) có biệt thức    (∆ = b^2– 4ac).

- Nếu (∆ < 0) thì với mọi (x, f(x)) có cùng dấu với hệ số (a).

- Nếu (∆ = 0) thì (f(x)) có nghiệm kép (x = -frac{b}{2a}), với mọi (x ≠ -frac{b}{2a}), (f(x)) có cùng dấu với hệ số (a).

- Nếu (∆ > 0, f(x)) có (2) nghiệm ({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})) và luôn cùng dấu với hệ số (a) với mọi (x) ngoài đoạn ({ m{[}}{x_1};{x_2}{ m{]}}) và luôn trái dấu với hệ số (a) với mọi (x) trong đoạn (({x_1};{x_2}))

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn.

Là mệnh đề chứa một biến có một trong các dạng: 

(a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c < 0,a{x^2} + bx + c ge 0,a{x^2} + bx + c le 0), trong đó vế trái là một tam thức bậc hai.

Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai.