Lực điện động

Phương pháp sử dụng định luật Bio-Xavar-Laplax

Theo quan điểm của phương pháp này lực điện động là kết quả tương tác lẫn nhau của dây dẫn l mang dòng điện I và từ trường do dây dẫn khác tạo nên.

- Lực điện động tác dụng lên chiều dài l khi có dòng điện I đặt trong từ trường có từ cảm B→ size 12{ widevec {B} } {} là:

ΔF → = I . Δl → x ΔB → hay ∣ ΔF → ∣ = I . B . Δl . sin α size 12{ widevec {ΔF} =I "." widevec {Δl} `x` widevec {ΔB} matrix { {} # {} } ital "hay" matrix { {} # {} } lline widevec {ΔF} rline =I "." B "." Δl "." "sin"α} {}

Với góc  là góc hợp bởi Δl→ size 12{ widevec {Δl} } {} và B→ size 12{ widevec {B} } {} ( Δl→ size 12{ widevec {Δl} } {}cùng chiều I→ size 12{ widevec {I} } {}).

 là góc xác định theo chiều quay nhỏ nhất.

- Dạng vi phân là dF→=I.dl→xB→ size 12{d widevec {F} =I "." d widevec {l} `x` widevec {B} } {}

∣dF→∣=I.B.dl.sinα size 12{ lline d widevec {F} rline =I "." B "." ital "dl" "." "sin"α} {} (4-1)

Có : dl→ size 12{ {"dl"} cSup { size 8{ rightarrow } } } {}trùng chiều dòng điện i.

Từ đó ta có lực điện động :

∣F→∣=∫0l∣dF→∣=∫0lI.Bdlsinα size 12{ lline widevec {F} rline = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { lline d widevec {F} rline } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } {I "." ital "Bdl""sin"α} } {}= I.B. l. sinα size 12{"sin"α} {} (4-2)

- Nếu hai dây dẫn cùng trong một mặt phẳng  = 900 thì F=∫0lIBdl size 12{F= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { ital "IBdl"} } {}=I.B.l.

Muốn xác định được F ta phải tìm được quan hệ B = B(l), cảm ứng từ phụ thuộc kích thước dây dẫn.

- Theo Bio-Xavar-Laplax thì cường độ từ cảm tại một điểm M B→ size 12{ widevec {B} } {} có trị số là :

B→=μ04πI∫dl→xr0→r2 , hay ∣B→∣=μ04πI∫dl.sinβr2 size 12{ widevec {B} = { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I Int { { {d widevec {l} `x` widevec {r rSub { size 8{0} } } } over {r rSup { size 8{2} } } } " , hay " lline widevec {B} rline = { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I Int { { { ital "dl" "." "sin"β} over {r rSup { size 8{2} } } } } } } {} (4-3)

Trong đó:

r 0 → laì veïctå âån vë choün tæì dl âãún M coï ∣ r 0 → ∣ = 1 r : laì khoaíng caïch tæì dl âãún M . β : goïc håüp båíi d l → vaì r 0 → B → : veïc tå caím æïng tæì thàóng goïc våïi màût phàóng do d l → vaì r 0 → taûo lãn . { { { { size 12{alignl { stack { left lbrace widevec { size 10{r rSub { size 8{0} } }} " laì veïctå âån vë choün tæì dl âãún M coï " lline size 12{ widevec {r rSub { size 8{0} } } } rline =1 {} # right none left lbrace size 12{r:" laì khoaíng caïch tæì dl âãún M" "." } {} # right none left lbrace size 12{β" : goïc håüp båíi d" widevec { size 12{l} } " vaì " widevec { size 12{r rSub { size 8{0} } } } } {} # right none left lbrace size 12{ widevec {B } ": veïc tå caím æïng tæì thàóng goïc våïi màût phàóng "} {} # right none left lbrace size 12{"do d" widevec { size 12{l} } " vaì " widevec { size 12{r rSub { size 8{0} } } } " taûo lãn" "." } {} # right no } } size 12{ lbrace }} {}

Phương pháp cân bằng năng lượng

Xét một dây dẫn có dòng điện chạy qua như hình minh họa trên. Khi dây dẫn dịch chuyển theo hướng x một đoạn dx thì lực điện động được xác định bởi :

dw = F.dx ⇒F=dwdx size 12{ drarrow matrix { {} # F= { { ital "dw"} over { ital "dx"} } {} } } {} (4-4)

Trong đó:

+ dw : độ biến thiên năng lượng từ trường của vật dẫn mang dòng điện khi di chuyển một đoạn dx.

+ x : phương chuyển dời có thể có của dây dẫn dưới tác dụng của lực F.

+ Chiều F→ size 12{ widevec {F} } {} trùng với chiều dx.

Ví dụ: xét hệ hai vật dẫn mang hai dòng điện i1 ; i2 như hình minh họa trên đặt song song cách nhau một khoảng x. Năng lượng từ trường của hệ là:

W M = 1 2 L 1 i 1 2 + 1 2 L 2 i 2 2 + Mi 1 i 2 vaì læûc taïc duûng laì : F = dw M dx = d 1 2 L 1 i 1 2 + 1 2 L 2 i 2 2 + Mi 1 i 2 dx Ta coï læûc taïc duûng riãng reî seî laì : F 1 = 1 2 i 1 2 . dL 1 dx [ J / cm ] F 2 = 1 2 i 2 2 . dL 2 dx [ J / cm ] { alignl { stack { {} # size 12{ size 10{W rSub { size 8{M} } = { { size 12{1} } over { size 12{2} } } L rSub { size 8{1} } i rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } + { { size 12{1} } over { size 12{2} } } L rSub { size 8{2} } i rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } + ital "Mi" rSub { size 8{1} } i rSub { size 8{2} } ` ital "vaì"`" læûc taïc duûng laì :"}} {} # size 12{ size 10{F= { { size 10{"dw" rSub { size 8{M} } }} over { size 12{"dx"} } } = { { size 12{d left ( size 12{ { {1} over { size 12{2} } } L rSub { size 8{1} } i rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } + { { size 12{1} } over { size 12{2} } } L rSub { size 8{2} } i rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } + ital "Mi" rSub { size 8{1} } i rSub { size 8{2} } } right )} } over { size 12{ ital "dx"} } } }} {} # size 12{ size 10{"Ta coï læûc taïc duûng riãng reî seî laì :"}} {} # size 10{ alignl { stack { left lbrace size 10{F rSub { size 8{1} } = { { size 12{1} } over { size 12{2} } } i rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } "." { { size 12{ ital "dL" rSub { size 8{1} } } } over { size 12{ ital "dx"} } } [ J/ ital "cm" ] } {} # right none left lbrace size 12{F rSub { size 8{2} } = { { size 12{1} } over { size 12{2} } } i rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } "." { { size 12{ ital "dL" rSub { size 8{2} } } } over { size 12{ ital "dx"} } } [ J/ ital "cm" ] } {} # right no } } size 12{ lbrace }} {} } } {}

Khi vật thể biến dạng hoặc chuyển dời ta giả thiết các dòng điện bằng hằng số. Theo phương pháp này muốn tính lực ta phải biết được biểu thức toán học của hệ số tự cảm L và hỗ cảm M theo x. Các phương pháp tính L và M nêu trong giáo trình lí thuyết trường điện từ.

Ứ́ng dụng phương pháp cân bằng năng lượng

Ta xét lực điện động trong một số trường hợp vật dẫn đồng nhất nằm trong từ trường đều. Các trường hợp khác có thể tham khảo tài liệu chuyên ngành chế tạo thiết bị.

1. Lực điện động tác dụng lên một vòng dây có dòng i nằm trong một từ trường

Giả thiết bán kính vòng dây R, bán kính dây dẫn r (hình minh họa). Lực điện động có xu hướng kéo căng vòng dây dẫn bung ra. Giả thiết lực phân bố đều trên chu vi vòng dây. Gọi fR là lực tác dụng lên một đơn vị dài chu vi theo hướng kính, lực tác dụng tổng: F=2π.R.fR=12I2.dLdR size 12{F=2π "." R "." f rSub { size 8{R} } = { {1} over {2} } I rSup { size 8{2} } "." { { ital "dL"} over { ital "dR"} } } {} (4-6)

Theo Kiếc khốp có: L=μ0Rln8Rr−1,75 size 12{L=μ rSub { size 8{0} } R left ("ln" { {8R} over {r} } - 1,"75" right )} {}.

Và ta giả thiết 2rR<<1 size 12{ { {2r} over {R} } "<<"1} {} thay vào biểu thức (4-6) ta có:

F = 1 2 μ 0 . I 2 ln 8R r − 0, 75 biãút μ 0 = 0,4 . ∏ . 10 − 8 H m size 12{F= { {1} over {2} } μ rSub { size 8{0} } "." I rSup { size 8{2} } left ("ln" { {8R} over {r} } - 0,"75" right )~"biãút "μ rSub { size 8{0} } =0,4 "." size 9{ prod "." "10" rSup { - 8} left [ { {H} over {m} } right ]}} {}

Vậy F=2,04.π.10−8.I2ln8Rr−0,75[kg] size 12{F=2,"04" "." π "." "10" rSup { size 8{ - 8} } "." I rSup { size 8{2} } left ("ln" { {8R} over {r} } - 0,"75" right ) matrix { {} # {} } [ ital "kg" ] } {} (4-7)

Để tính độ bền cơ khí vòng dây, ta phải xác định lực có xu hướng kéo đứt vòng dây theo hướng kính (là tích phân hình chiếu các lực hướng kính tác dụng lên 1/4vòng dây) là :

FR=∫0π2fR.R.cosϕ.dϕ=fR.R=10−7.I2ln8Rr−0,75 size 12{F rSub { size 8{R} } = Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{ { {π} over {2} } } } {f rSub { size 8{R} } "." R "." "cos"ϕ "." dϕ=f rSub { size 8{R} } "." R="10" rSup { size 8{ - 7} } "." I rSup { size 8{2} } left ("ln" { {8R} over {r} } - 0,"75" right )} } {}N

* Trong trường hợp cuộn dây có W vòng, thay IW cho I, ta có :

FR=10−7.(WI)2ln8Rr−0,75[N]=1,02.10−8.(WI)2ln8Rr−0,75[kg]. size 12{F rSub { size 8{R} } ="10" rSup { size 8{ - 7} } "." ( ital "WI" ) rSup { size 8{2} } left ("ln" { {8R} over {r} } - 0,"75" right ) [ N ] =1,"02" "." "10" rSup { size 8{ - 8} } "." ( ital "WI" ) rSup { size 8{2} } left ("ln" { {8R} over {r} } - 0,"75" right ) [ ital "kg" ] "." } {} (4.9)

Chú ý: 1[N]=0,102 [kg] và 1[J/cm]=10,2[kg].

b) Tính lực điện động giữa hai dây dẫn tiết diện tròn đặt song song mang dòng i

Ta sử dụng phương pháp cân bằng năng lượng với giả thiết hai dây dẫn có bán kính r đặt song song cách nhau khoảng a.

Ta biết theo lí thuyết trường đối với dây dẫn như trên thì hệ số tự cảm là :

L = μ 0 . l 2π 1 2 + 2 . ln a − r r size 12{L= { {μ rSub { size 8{0 "." } } l} over {2π} } left ( { {1} over {2} } +2 "." "ln" { {a - r} over {r} } right )} {}

Với: l là chiều dài của dây dẫn.

Lực tác dụng vào từng thanh dẫn được tính:

F=dWMda=I2.dl2da=0,2.10−8.I2.la−r size 12{F= { { ital "dW" rSub { size 8{M} } } over { ital "da"} } = { {I rSup { size 8{2} } "." ital "dl"} over {2 ital "da"} } =0,2 "." "10" rSup { size 8{ - 8} } "." I rSup { size 8{2} } "." { {l} over {a - r} } } {} [J/cm]. (4.10)

Nếu có a>>r thì:

F=2,04.10−8.I2.la size 12{F=2,"04" "." "10" rSup { size 8{ - 8} } "." I rSup { size 8{2} } "." { {l} over {a} } } {} [kg] (4.11)

Nếu dòng trong hai dây cùng chiều thì hai dây dẫn sẽ hút

nhau và ngược chiều thì đẩy nhau.

Ứng dụng định luật Bio-Xavar-Laplax

a) Lực điện động tác dụng lên hai dây dẫn đặt trong cùng một mặt phẳng

Trên hình minh họa là hai dây dẫn l1 và l2 cùng đặt trong một mặt phẳng. Dây dẫn l1 mang dòng I1 dây dẫn l2 mang dòng I2.

Ta tìm sự phân bố lực lên dây dẫn l2.

Ta chọn trục tung oy trùng với dây l1 (chọn hệ xoy hình 4-6). Dòng I1 ở đơn vị dy trong dây l1 tạo ra ở đoạn dl có cường độ từ cảm là :

dB→=μ04πI1dy→xr→0r2 size 12{d { vec {B}}= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } { {d { vec {y}}`x` { vec {r}} rSub { size 8{0} } } over {r rSup { size 8{2} } } } } {} hay:

dB = μ 0 4π I 1 dy sin ( π − α ) r 2 size 12{ ital "dB"= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } ital "dy" { {"sin" ( π - α ) } over {r rSup { size 8{2} } } } } {}

Vì có: sin( p−α size 12{p-α} {})= sin α size 12{α} {} nên:

dB = μ 0 4π I 1 dy sin α r 2 size 12{ ital "dB"= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } ital "dy" { {"sin"α} over {r rSup { size 8{2} } } } } {}

Lực tác dụng lên đoạn dl2 do I1dy gây ra là:

d F → = I 2 . d l → 2 x d B → size 12{d { vec {F}}=I rSub { size 8{2} } "." d { vec {l}} rSub { size 8{2} } `x`d { vec {B}}} {}

Hay:

dB = μ 0 4π I 1 I 2 dy . dl 2 sin α r 2 . sin 90 0 size 12{ ital "dB"= { {μ rSub { size 8{0} } } over {4π} } I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } ital "dy" "." ital "dl" rSub { size 8{2} } { {"sin"α} over {r rSup { size 8{2} } } } "." "sin""90" rSup { size 8{0} } } {}

{}Từ hình 4-6 ta có :

y=cotg α;dy=−xsin2αdα;r=xsinα size 12{α`; ital "dy"= { { - x} over {"sin" rSup { size 8{2} } α} } dα`;r= { {x} over {"sin"α} } } {}

Vậy:

dF=μ0.I1I24π.x.dl2.sinα.dα size 12{ ital "dF"= { {μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } I rSub { size 8{2} } } over {4π "." x} } "." ital "dl" rSub { size 8{2} } "." "sin"α "." dα} {} (4.12)

Lực tác dụng lên đoạn dl2 ở vị trí x trên do dòng I1 chạy trong l1 gây ra là :

dFx=−μ0.I1.I24π.x∫α1α2sinα.dα size 12{ ital "dF" rSub { size 8{x} } = - { {μ"" lSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } over {4π "." x} } Int cSub { size 8{α rSub { size 6{1} } } } cSup {α rSub { size 6{2} } } {"sin"α "." dα} } {} (4-13)

Lực tác dụng lên một đơn vị dài của dây l2 tại vị trí xi do I1→trongl1 size 12{ widevec {I rSub { size 8{1} } } ` ital "trong"`l rSub { size 8{1} } } {} gây lên là :

Fxi=dFxidl2=μ0.I1.I24π.cosα2i−cosα1ixi size 12{F rSub { size 8{x rSub { size 6{i} } } } = { { ital "dF" rSub {x rSub { size 6{i} } } } over { size 12{ ital "dl" rSub {2} } } } size 12{ {}= { {μ rSub {0} size 12{ "." I rSub {1} } size 12{ "." I rSub {2} }} over { size 12{4π} } } } size 12{ "." { {"cos"α rSub {2i} size 12{ - "cos"α rSub {1i} }} over { size 12{x rSub {i} } } } }} {} (4-14)

Chú ý : khi chọn các điểm tính x dọc chiều dài l2 góc  và độ dài x biến thiên dẫn đến các lực Fx biến

thiên không đều dọc chiều dài l2 của dây 2.

Điểm tác dụng của lực tổng F sẽ qua trọng tâm dây l2.

Bằng phương pháp vẽ ta có thể biết sự phân bố của lực dọc chiều dài dây l2.

1. Lực điện động giữa hai dây dẫn đặt song song trong đó một dây dài vô tận

Hình minh họa, xét khi dây l1 = ; dây l2 = l khoảng cách giữa hai dây x = a. Áp dụng biểu thức (4.14) ta thay 1 = ; 2 = 0; x = a vào ta có : Fxi=2μ0.I1.I24π.a=const size 12{F rSub { size 8{ ital "xi"} } = { {2μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } over {4π "." a} } = ital "const"} {}

Lực điện động tác dụng lên dây dẫn l2 là :

F2=2μ0.I1.I24π.la size 12{ size 10{F rSub { size 8{2} } = { { size 12{2μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } } } over { size 12{4π} } } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } }} {} (4-14)

và có F2=0,2.I1.I2.la.10−8[J/cm] hay F2=2,04.I1.I2.la.10−8[kg] size 12{ size 10{F rSub { size 8{2} } =0,2 "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } [ "J/cm" ] " hay F" rSub { size 8{2} } =2,"04" "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } "." { { size 12{l} } over { size 12{a} } } "." "10" rSup { size 8{ - 8} } [ ital "kg" ] }} {}.

c) Lực điện động giữa hai dây dẫn song song có chiều dài bằng nhau

Áp dụng công thức (4.12) ở phần trước và thay x = a; dl2 = dy ta có :

dF=μ0.I1.I24π.a.dy(cosα2−cosα1) size 12{ size 10{ ital "dF"= { { size 10{μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } }} over { size 12{4π "." a} } } "." ital "dy" ( "cos"α rSub { size 8{2} } - "cos"α rSub { size 8{1} } ) }} {} (4-15)

Trên hình 4-7 có : cosα2=l−y(l−y)2+a2 ,coìn cosα1=−cos(π−α1)=yy2+a2 size 12{"cos"α rSub { size 8{2} } = { {l - y} over { ( l - y ) rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } " ,coìn "`"cos"α rSub { size 8{1} } = - "cos" ( π - α rSub { size 8{1} } ) = { {y} over { sqrt {y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } {}

Vậy : F=μ0.I1.I24π.a∫0l(l−y)dy(l−y)2+a2+∫0lydyy2+a2 size 12{ size 10{F= { { size 10{μ rSub { size 8{0} } "." I rSub { size 8{1} } "." I rSub { size 8{2} } }} over { size 12{4π "." a} } } left [ size 12{ Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { { { ( l - y ) ital "dy"} over { size 12{ sqrt { ( l - y ) rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } +{}} Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { size 12{ { { ital "ydy"} over { size 12{ sqrt {y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } } } } } } right ]}} {} (4-16)

Tính từng tích phân riêng rẽ có :

A = ∫ 0 l ydy y 2 + a 2 size 12{ size 10{A= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{l} } { { { size 10{ ital "ydy"}} over { sqrt { size 10{y rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } }} } } } }} {}

Nếu đặt z2= y2+a2 ⇒ size 12{ drarrow } {}2zdz = 2ydy và:

+ khi y= 0 thì z= a

+khi y=1 thì z= l2+a2 size 12{ sqrt {l rSup { size 8{2} } +a rSup { size 8{2} } } } {}{}{}

đổi cận ta có :

A = ∫ 0 l ydy y 2 + a 2 = ∫ a l 2 + a 2 dz = a 2 +