Khái niệm về đặc tính động học

Đặc tính động của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo thời gian khi có tác động ở đầu vào. Trong thực tế các hệ thống điều khiển rất đa dạng, tuy nhiên những hệ thống được mô tả bằng mô hình toán học có dạng như nhau sẽ có đặc tính động học như nhau. Để khảo sát đặc tính động của hệ thống tín hiệu vào thường được chọn là tín hiệu cơ bản như hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hòa. Tùy theo dạng của tín hiệu vào thử mà đặc tính động thu được là đặc tính thời gian hay đặc tính tần số.

Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.

Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống

Nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị thì đáp ứng của hệ thống là:

g(t) được gọi là đáp ứng đáp ứng xung hay còn gọi là hàm trọng lượng của hệ thống.

Vậy đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị. Theo biểu thức đáp ứng xung chính là biến đổi Laplace ngược của hàm truyền.

Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị r(t) = 1(t) thì đáp ứng của hệ thống là:

Biểu thức (3.2) có được do áp dụng tính chất ảnh của tích phân của phép biến đổi Laplace. Đặt:

h(t) được gọi là đáp ứng nấc hay còn gọi là hàm quá độ của hệ thống.

Vậy đáp ứng nấc là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị. Theo biểu thức (3.3) đáp ứng nấc chính là tích phân của đáp ứng xung.

Ví dụ : Cho hệ thống có hàm truyền là:

Xác định hàm trọng lượng và hàm quá độ của hệ thống.

Giải. Hàm trọng lượng:

Hàm quá độ:

Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược ta được kết quả như

trên. g

Nhận xét: Ở bài trước ta đã biết có ba cách mô tả toán học hệ thống tuyến tính liên tục là dùng phương trình vi phân, hàm truyền và hệ phương trình trạng thái. Do quan hệ giữa hàm trọng lượng và hàm quá độ với hàm truyền cho bởi biểu thức (3.1) và (3.3) ta thấy rằng có thể dùng hàm trọng lượng hay hàm quá độ để mô tả toán học hệ thống tự động. Khi đã biết hàm trọng lượng hay hàm quá độ thì sẽ suy ra được hàm truyền dễ dàng bằng các công thức sau đây:

Ví dụ: Cho hệ thống có đáp ứng nấc đơn vị là:

Xác định hàm truyền của hệ thống.

Giải. Theo đề bài, ta có:

Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính liên tục mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều hòa tác động ở đầu vào của hệ thống.

Xét hệ tuyến tính liên tục có hàm truyền là G(s), giả sử tín hiệu vào là tín hiệu hình sin:

Tín hiệu ra của hệ thống là:

Giả sử G(s) có n cực p_i phân biệt thỏa , ta có thể phân tích C(s) dưới dạng:

Biến đổi Laplace ngược biểu thức trên, ta được:

Nếu hệ thống ổn định thì tất cả các cực pi đều có phần thực âm. Khi đó:

Nếu G(s) có cực bội thì ta cũng có thể chứng minh được đáp ứng xác lập của hệ thống có dạng (3.6). Các hệ số và xác định bởi công thức:

rút gọn biểu thức ta được:

Biểu thức cho thấy ở trạng thái xác lập tín hiệu ra của hệ thống là tín hiệu hình sin, cùng tần số với tín hiệu vào, biên độ tỉ lệ với biên độ tín hiệu vào (hệ số tỉ lệ là ) và lệch pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha là ).

Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin.

Ta rút ra: