Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd

Mỗi nhóm điểm D_n gồm các phép quay của nhóm con C_n, n phép quay góc π size 12{π} {}quanh n trục C₂ trực giao với trục quay C_n và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm D_nh gồm các phép quay của nhóm con D_n, phép phản xạ gương qua một mặt phẳng gương chứa các trục quay C₂ của nhóm con này và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n cũng có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm D_nd gồm các phép quay của nhóm điểm D_n, các phép phản xạ gương qua n mặt phẳng gương (chứa trục quay C_n) là cac mặt phẳng phân giác của các góc giữa hai trục quay C₂, và các tổ hợp của chúng. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nhóm điểm D_nd chỉ có thể là một nhóm điểm tinh thể học nếu n có hai giá trị 2 và 3. Như vậy trong họ đang xét ta có 10 nhóm điểm tinh thể học sau đây.

1) Nhóm D₂ có ba yếu tố đối xứng là các trục quay C₂ vuông góc với nhau từng đôi một (xem hình 3.9). Trong một phép quay C₂ quanh một trục nào đó mỗi trục khác chuyển thành chính nó nhưng đổi chiều ngược lại.

2) Nhóm D₃ có bốn yếu tố đối xứng là một trục quay C₃ và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.10 ta kẻ cả ba trục quay C₂ đó, chọn một trục quay trùng bởi trục tọa độ Ox. Trục quay C₃ trực giao với mặt phẳng hình vẽ đi qua giao điểm O của ba trục quay C₂.

3) Nhóm D₄ có 5 yếu tố đố xứng là một trục quay C₄ và bốn trục quay C₂ trực giao với trục quay C₄ và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.11 ta kẻ cả bốn trục quay C₂ đó, chọn hai trục quay trùng với hai trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó hai trục quay C₂ khác là các đường phân giác của hai góc vuông tạo bởi các trục Ox và Oy. Trục quay C₄ trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểm O của các trục quay C₂.

4) Nhóm D₆ có bảy yếu tố đối xứng là một trục quay C₆ và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.12 ta kẻ sáu trục quay C₂ đó, chọn hai trục trùng với các trục tọa độ Ox và Oy. Góc giữa hai trục quay C₂ là một bội số của π6 size 12{ { {π} over {6} } } {}. Trục quay C₆ trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểm O của các trục quay C₂.

5) Nhóm D₂h gồm các yếu tố của nhóm con D₂, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}chứa hai trục quay C₂ và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D₂ là ba trục quay C còn có thêm hai yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của ba trục quay.

6) Nhóm D_3h gồm các yếu tố của nhóm con D₃, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa ba trục quay C₂ và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C₃, ba trục quay C₂ trực giao với trục quay C₃ và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa ba trục quay C₂.

7) Nhóm D_4h gồm các yếu tố của nhóm con D₄, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa bốn trục quay C₂ và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C₄, bốn trục quay C₂ trực giao với trục quay C₄ và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa bốn trục quay C₂ và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay.

8) Nhóm D_6h gồm các yếu tố con của nhóm D₆, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa sáu trục quay C₂ và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng đã biết của nhóm D₆ còn có hai yêu tố đối xứng nữa là mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} và tâm ngịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay.

9) Nhóm D_2d gồm các yếu tố của nhóm con D₂, hai phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}qua hai mặt phẳng gương chứa một trục quay C₂ và là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vuông tạo bởi hai trục quay C₂ kia, và các tổ hợp của chúng. Ta cũng gọi hai mặt phẳng gương là σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {} và σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}. Ta chọn giao tuyến của hai mặt phẳng gương này (một trục quay C₂) làm trục Oz, chọn hai trục quay C₂ trực giao với Oz làm hai trục Ox và Oy. Trên hình 3.13 ta vẽ hai giao tuyến của hai mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} với mặt phẳng tọa độ xOy. Ba trục quay C₂ và hai mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} là các yếu tố đối xứng.

10) Nhóm D_3d gồm các yếu tố của nhóm con D₃, ba phép phản xạ gương qua ba mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {} chứa trục quay C₃. Trên hình 3.14 ta vẽ ba giao tuyến của ba mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {} với mặt phẳng tọa độ xOy chứa ba trục quay C₂. Trục quay C₂ và ba mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {} là các yếu tố đối xứng.

Cuối cùng ta hãy thử lại rằng không thể có nhóm điểm tinh thể học loại D_nd với n là một trong hai số nguyên 4 hoặc 6. Ta hãy xét kỹ nhóm D_4d. Với nhóm D_6d có thể lặp lại các lập luận tương tự.

Nhóm D_4d chứa các yếu tố của nhóm con D₄ đã biết ở trên. Ta chọn trục quay C₄ làm trục tọa độ Oz, chọn mặt phẳng chứa các trục quay C₂ làm mặt phẳng tọa độ xOy, chọn hai trục quay C₂ trực giao với nhau làm hai trục tọa độ Ox và Oy. Hai trục quay C₂ kia hướng theo hai đường phân giác của hai góc vuông tạo bởi hai trục Ox và Oy. Hình vuông tâm O trên mặt phẳng xOy với hai cạnh song song với hai trục tọa độ (hình 3.15) có tính chất đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đỏi của nhóm con D₄.

Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D₄ là trục quay C₄ và bốn trục quay C₂ ta hãy thử đưa thêm các yếu tố đối xứng mới là bốn mặt phẳng phân giác của các góc π4 size 12{ { {π} over {4} } } {}tạo bởi các trục quay C₂ từng đôi một, và xét các phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {} qua bốn mặt phẳng gương này (hình 3.16). Rõ ràng rằng hình vuông đối xứng (bất biến) đối với nhóm con D₄ không thể đối xứng (bất biến) đối với các phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ"'" rSub { size 8{d} } } {} . Trái lại, trong các phép phản xạ gương này hình vuông đã cho chuyển thành một hình vuông đồng tâm khác đã quay đi một góc π8 size 12{ { {π} over {8} } } {}so với hình vuông ban đầu (hình 3.17). Phối hợp cả hai hình vuông ta được một hình sao tám cạnh đối xứng với nhóm C₈ mà trục quay là trục Oz. Vậy nhóm D_4d phải chứa nhóm con C₈. Nhưng ta lại biết rằng không có nhóm điểm tinh thể học nào chứa nhóm con C₈. Vậy D_4d không thể là nhóm điểm tinh thể học. Nhóm D_6d cũng không thể là nhóm điểm tinh thể học.

Tóm lại, trong các nhóm D_n, D_nh và D_nd có 10 nhóm điểm tinh thể học đã trình bày ở trên. Trong số các mặt phẳng tạo bởi các trục quay giao nhau là các yếu tố đối xứng của các nhóm điểm đang xét luôn luôn có các cặp mặt phẳng trực giao với nhau từng đôi một. Do đó các nhóm điểm này tạo thành một họ gọi là họ nhị diện (dihedral).