Hệ mã RSA

Khái niệm hệ mật mã RSA đã được ra đời năm 1976 bởi các tác giả R.Rivets, A.Shamir, và L.Adleman. Hệ mã hoá này dựa trên cơ sở của hai bài toán :

+ Bài toán Logarithm rời rạc (Discrete logarith)

+ Bài toán phân tích thành thừa số.

Trong hệ mã hoá RSA các bản rõ, các bản mã và các khoá (public key và private key) là thuộc tập số nguyên Z_N = {1, . . . , N-1}. Trong đó tập Z_N với N=p×q là các số nguyên tố khác nhau cùng với phép cộng và phép nhân Modulo N tạo ra modulo số học N.

Khoá mã hoá E_KB là cặp số nguyên (N,K_B) và khoá giải mã D_kb là cặp số nguyên (N,k_B), các số là rất lớn, số N có thể lên tới hàng trăm chữ số.

Các phương pháp mã hoá và giải mã là rất dễ dàng.

Công việc mã hoá là sự biến đổi bản rõ P (Plaintext) thành bản mã C (Ciphertext) dựa trên cặp khoá công khai K_B và bản rõ P theo công thức sau đây :

C = E_KB(P) = E_B(P) = P^KB (mod N) . (1)

Công việc giải mã là sự biến đổi ngược lại bản mã C thành bản rõ P dựa trên cặp khoá bí mật k_B , modulo N theo công thức sau :

P = D_kB(C) = D_B(C) = C^kB (mod N) . (2)

Dễ thấy rằng, bản rõ ban đầu cần được biến đổi một cách thích hợp thành bản mã, sau đó để có thể tái tạo lại bản rõ ban đầu từ chính bản mã đó :

P = D_B(E_B(P)) (3)

Thay thế (1) vào (2) ta có :

(P^KB)^kB = P (mod N ) (4)

Trong toán học đã chứng minh được rằng, nếu N là số nguyên tố thì công thức (4) sẽ có lời giải khi và chỉ khi K_B.k_B = 1 (mod N-1), áp dụng thuật toán ta thấy N=p×q với p, q là số nguyên tố, do vậy (4) sẽ có lời giải khi và chỉ khi :

K_B.k_B size 12{ equiv } {} 1 (mod γ size 12{γ} {}(N)) (5)

trong đó γ size 12{γ} {} (N) = {} LCM(p-1,q-1) .

LCM (Lest Common Multiple) là bội số chung nhỏ nhất.

Nói một cách khác, đầu tiên người nhận B lựa chọn một khoá công khai K_B một cách ngẫu nhiên. Khi đó khoá bí mật k_B được tính ra bằng công thức (5). Điều này hoàn toàn tính được vì khi B biết được cặp số nguyên tố (p,q) thì sẽ tính được (N).

Sơ đồ các bước thực hiện mã hoá theo thuật toán RSA.

Một nhận định chung là tất cả các cuộc tấn công giải mã đều mang mục đích không tốt. Trong phần độ an toàn của hệ mã hoá RSA sẽ đề cập đến một vài phương thức tấn công điển hình của kẻ địch nhằm giải mã trong thuật toán này.

Chúng ta xét đến trường hợp khi kẻ địch nào đó biết được modulo N, khoá công khai K_B và bản tin mã hoá C, khi đó kẻ địch sẽ tìm ra bản tin gốc (Plaintext) như thế nào. Để làm được điều đó kẻ địch thường tấn vào hệ thống mật mã bằng hai phương thức sau đây:

• Phương thức thứ nhất :

Trước tiên dựa vào phân tích thừa số modulo N. Tiếp theo sau chúng sẽ tìm cách tính toán ra hai số nguyên tố p và q, và có khả năng thành công khi đó sẽ tính được λ(N) và khoá bí mật k_B. Ta thấy N cần phải là tích của hai số nguyên tố, vì nếu N là tích của hai số nguyên tố thì thuật toán phân tích thừa số đơn giản cần tối đa N size 12{ sqrt {N} } {} bước, bởi vì có một số nguyên tố nhỏ hơn N size 12{ sqrt {N} } {}. Mặt khác, nếu N là tích của n số nguyên tố, thì thuật toán phân tích thừa số đơn giản cần tối đa N^1/n bước.

Một thuật toán phân tích thừa số có thể thành phức tạp hơn, cho phép phân tích một số N ra thành thừa số trong O( P size 12{ sqrt {P} } {}) bước, trong đó p là số chia nhỏ nhất của N, việc chọn hai số nguyên tố là cho thuật toán tăng hiệu quả.

• Phương thức thứ hai :

Phương thức tấn công thứ hai vào hệ mã hoá RSA là có thể khởi đầu bằng cách giải quyết trường hợp thích hợp của bài toán logarit rời rạc. Trường hợp này kẻ địch đã có trong tay bản mã C và khoá công khai K_B tức là có cặp (K_B,C)

Cả hai phương thức tấn công đều cần một số bước cơ bản, đó là :

O(exp lnNln(lnN) size 12{ sqrt {" lnNln" ( "lnN" ) } } {}), trong đó N là số modulo.

• Trong các hệ mật mã RSA, một bản tin có thể được mã hoá trong thời gian tuyến tính.

Đối với các bản tin dài, độ dài của các số được dùng cho các khoá có thể được coi như là hằng. Tương tự như vậy, nâng một số lên luỹ thừa được thực hiện trong thời gian hằng, các số không được phép dài hơn một độ dài hằng. Thực ra tham số này che dấu nhiều chi tiết cài đặt có liên quan đến việc tính toán với các con số dài, chi phí của các phép toán thực sự là một yếu tố ngăn cản sự phổ biến ứng dụng của phương pháp này. Phần quan trọng nhất của việc tính toán có liên quan đến việc mã hoá bản tin. Nhưng chắc chắn là sẽ không có hệ mã hoá nào hết nếu không tính ra được các khoá của chúng là các số lớn.

• Các khoá cho hệ mã hoá RSA có thể được tạo ra mà không phải tính toán quá nhiều.

Một lần nữa, ta lại nói đến các phương pháp kiểm tra số nguyên tố. Mỗi số nguyên tố lớn có thể được phát sinh bằng cách đầu tiên tạo ra một số ngẫu nhiên lớn, sau đó kiểm tra các số kế tiếp cho tới khi tìm được một số nguyên tố. Một phương pháp đơn giản thực hiện một phép tính trên một con số ngấu nhiên, với xác suất 1/2 sẽ chứng minh rằng số được kiểm tra không phải nguyên tố. Bước cuối cùng là tính p dựa vào thuật toán Euclid.

Như phần trên đã trình bày trong hệ mã hoá công khai thì khoá giải mã (private key) k_B và các thừa số p,q là được giữ bí mật và sự thành công của phương pháp là tuỳ thuộc vào kẻ địch có khả năng tìm ra được giá trị của k_B hay không nếu cho trước N và K_B. Rất khó có thể tìm ra được k_B từ K_B cần biết về p và q, như vậy cần phân tích N ra thành thừa số để tính p và q. Nhưng việc phân tích ra thừa số là một việc làm tốn rất nhiều thời gian, với kỹ thuật hiện đại ngày nay thì cần tới hàng triệu năm để phân tích một số có 200 chữ số ra thừa số.

Độ an toàn của thuật toán RSA dựa trên cơ sở những khó khăn của việc xác định các thừa số nguyên tố của một số lớn. Bảng dưới đây cho biết các thời gian dự đoán, giả sử rằng mỗi phép toán thực hiện trong một micro giây.