Hàm đặc trưng của biểu diễn
Cho một biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L thứ nguyên d . Trong không gian L hãy chọn một vectơ đơn vị cơ sở e 1 , e 2 , …, e d và ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử tuyến tính T ( a ), a size 12{ in } {} G , ...
Cho một biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L thứ nguyên d. Trong không gian L hãy chọn một vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, ed và ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử tuyến tính T(a), a size 12{ in } {}G, đối với hệ đơn vị cơ sở này là Tij(a), i, j = 1, 2, …, d,
Thực hiện một phép biến đổi tuyến tính X, ta chuyển hệ vectơ đơn vị cơ sở đã cho e1, e2, …, edthành một hệ vectơ mới e’1, e’2, …, e’d. Đối với hệ mới này các toán tử tuyến tính T(a) có các yếu tố ma trận Tij'(a) size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{'} } ( a ) } {},
Hãy tìm mối liên hệ giữa các yếu tố ma trận Tij(a) và Tij' size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{'} } } {}(a). Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tử X đối với hệ vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, ed là Xij. Ta có
Thay biểu thức (31) của ei' size 12{e rSub { size 8{i} } rSup { size 8{'} } } {}vào cả hai vế của hệ thức (30), ta thu được
Dùng biểu thức (29) của T(a) ej, ta viết lại công thức (32) như sau
e k T kj ( a ) size 12{T rSub { size 8{ ital "kj"} } ( a ) } {} X ji = e k T kj ( a ) size 12{T rSub { size 8{ ital "kj"} } ( a ) } {} T ji ' ( a ) size 12{T rSub { size 8{ ital "ji"} } rSup { size 8{'} } ( a ) } {} .
Vậy
Nhân cả hai vế của hệ thức (33) với (X-1)lk rồi cộng theo k từ 1 đến d, ta thiết lập được hệ thức giữa Tij(a) và Tij'(a) size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{'} } ( a ) } {}:
Vậy trong hai hệ vectơ đơn vị cơ sở liên hệ với nhau bởi hệ thức (31), toán tử T(a) có các yếu tố ma trận khác nhau Tij(a) và Tij'(a) size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{'} } ( a ) } {} liên hệ với nhau bởi công thức (34).
Từ các yếu tố ma trận khác nhau Tij (a) và Tij'(a) size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{'} } ( a ) } {} của cùng một toán tử T(a) ta có thể thiết lập được một đại lượng đặc trưng cho biểu diễn T mà không phụ thuộc và sự lựa chọn hệ cơ sở. Thực vậy, đặt l = i trong cả hai vế của hệ thức (34) rồi cộng theo i từ 1 đến d, ta có
T iI ' ( a ) size 12{T rSub { size 8{ ital "iI"} } rSup { size 8{'} } ( a ) } {} = (X -1) ik T kj (a) X ji = T kj (a) X ji (X -1) tk = T kj (a) δ size 12{δ} {} jk = T kk (a)
Vậy vết của ma trận của phép biến đổi T(a) không phụ thuộc sự lựa chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở và có thể được dùng làm đại lượng đặc trưng cho biểu diễn T mà ta đang xét. Ta có định nghĩa sau đây.
Cho một biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L. Vết của các ma trận phép biến đổi T(a) của biểu diễn này, a size 12{ in } {}G, không phụ thuộc sự lựa chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở trong không gian L và được gọi là hàm đặc trưng χ(a) size 12{χ ( a ) } {}của biểu diễn T:
Từ định nghĩa của hàm đặc trưng của biểu diễn suy ra một số mệnh đề cơ bản.
Mệnh đề 1
Các biểu diễn tương đương có cùng một hàm đặc trưng.
Chứng minh. Giả sử có hai biểu diễn tương đương T(1) và T(2) của cùng một nhóm G trong hai không gian vectơ L1 và L2. Khi đó có một toán tử tuyến tính X chuyển các vectơ của không gian L1 thành cac vectơ không gian L2 sao cho
Ký hiệu χ(i) size 12{χ rSup { size 8{ ( i ) } } } {}(a) là các hàm đặc trưng của hai biểu diễn đã cho
χ(1) size 12{χ rSup { size 8{ ( 1 ) } } } {}(a) = Tr T(1)(a) size 12{ left [T rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) right ]} {},
χ(2) size 12{χ rSup { size 8{ ( 2 ) } } } {}(a) = Tr T(2)(a) size 12{ left [T rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) right ]} {}.
Tính vết của các ma trận của các toán tử trong hai vế của hệ thức (36) đối với các vectơ đơn vị cơ sở bất kỳ và dùng tính chất sau đây của vết của tích hai toán tử A và B.
Tr AB size 12{ left [ ital "AB" right ]} {} = Tr BA size 12{ left [ ital "BA" right ]} {},
ta thu được
χ(2) size 12{χ rSup { size 8{ ( 2 ) } } } {}(a) = Tr T(2)(a) size 12{ left [T rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) right ]} {} = Tr XT(1)(a)X−1 size 12{ left [X`T rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) `X rSup { size 8{ - 1} } right ]} {} = Tr X−1XT(1)(a) size 12{ left [X rSup { size 8{ - 1} } `X`T rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) ` right ]} {} = Tr T(1)(a) size 12{ left [T rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) ` right ]} {} = χ(1) size 12{χ rSup { size 8{ ( 1 ) } } } {}(a)
Vậy hàm đặc trưng χ(1) size 12{χ rSup { size 8{ ( 1 ) } } } {}(a) và χ(2) size 12{χ rSup { size 8{ ( 2 ) } } } {}(a) của hai biểu diễn tương đương T(1) và T(2) bằng nhau.
Cho một biểu diễn hoàn toàn khả quy T trong không L thứ nguyên d, là tổng trực giao của hai biểu diễn T(1) và T(2) trong hai không gian con bất biến L1 và L2 thứ nguyên d1 và d2, d = d1 + d2. Ký hiệu các hàm đặc trưng của các biểu diễn T, T(1) và T(2) là χ(1) size 12{χ rSup { size 8{ ( 1 ) } } } {}(a) và χ(2) size 12{χ rSup { size 8{ ( 2 ) } } } {}(a). Các hàm đặc trưng này không phụ thuộc sự lựa chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian vectơ L, L1 và L2. Để thuận tiện khi thiết lập giữa các hàm đặc trưng này hãy chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, ed trong không gian L1 và f1, f2, …, fd2 size 12{f rSub { size 8{d rSub { size 6{2} } } } } {}trong không gian L2 rồi chọn các vectơ e1, e2, …, ed, f1, f2, …, fd2 size 12{f rSub { size 8{d rSub { size 6{2} } } } } {}làm hệ đơn vị cơ sở trong không gian L. Đối với hệ này ma trận của các phép biến đổi T(a) có dạng chéo theo ô như sau
Từ đây suy ra rằng
χ size 12{χ} {}(a) = Tr T(a) size 12{ left [T ( a ) right ]} {} = Tr T(1)(a) size 12{ left [T rSup { size 8{ ( 1 ) } } ( a ) right ]} {} + T(2)(a) size 12{ left [T rSup { size 8{ ( 2 ) } } ( a ) right ]} {} = χ(1) size 12{χ rSup { size 8{ ( 1 ) } } } {}(a) + χ(2) size 12{χ rSup { size 8{ ( 2 ) } } } {}(a)
Mở rộng lập luận ở trên cho trường hợp biểu diễn T là tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α size 12{α} {}) với α size 12{α} {}= 1, 2,…, mà biểu diễn tối giản T(α size 12{α} {}) được chứa nα size 12{α} {}lần trong biểu diễn T, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2
Nếu biểu diễn hoàn toàn khả quy T là tổng trực giao của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α size 12{α} {}) với α size 12{α} {}= 1, 2, …, mà biểu diễn tối giản T(α size 12{α} {}) được chứa nα size 12{α} {}lần trong biểu diễn T, thì hàm đặc trưng χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {})(a) của các biểu diễn T(α size 12{α} {}) như sau:
χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) = ∑αnαχ(α)(a) size 12{ Sum cSub { size 8{α} } {n rSub { size 8{α} } χ rSup { size 8{ ( α ) } } ( a ) } } {}.
Hàm đặc trưng χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) của một biểu diễn T là một hàm trên nhóm. Xét giá trị của hàm này trên hai yếu tố liên hợp với nhau a và b a b -1, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3
Trên hai yếu tố liên hợp với nhau a và b a b -1, trong đó a và b là hai yếu tố tùy ý của nhóm G, hàm đặc trưng χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) của một biểu diễn T có cùng một giá trị, nghĩa là
χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) = χ size 12{χ} {}(b a b -1), ∀a∈G,∀b∈G size 12{ forall `a` in `G,` forall `b` in `G} {}.
Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm đặc trưng ta có
χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) = Tr T(a) size 12{ left [T ( a ) right ]} {},
χ size 12{χ} {}(b a b-1) = Tr T(bab−1) size 12{ left [T ( b`a`b rSup { size 8{ - 1} } ) right ]} {} = Tr T(b)T(a)T(b−1) size 12{ left [T ( b ) `T` ( a ) `T ( `b rSup { size 8{ - 1} } ) right ]} {} = Tr T(b)T(a)T(b−1) size 12{ left lbrace T ( b ) `T` ( a ) ` left [T ( `b rSup { size 8{ - 1} } ) right ] right rbrace } {} = Tr T(b−1)T(b)T(a) size 12{ left lbrace ` left [T ( `b rSup { size 8{ - 1} } ) right ]`T ( b ) `T` ( a ) right rbrace } {} = Tr T(a) size 12{ left [T ( a ) right ]} {} = χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {})
Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Theo mệnh đề này trên tất cả các yếu tố của một lớp các yếu tố liên hợp hàm đặc trưng có cùng một giá trị. Vậy hàm đặc trưng cũng có thể xem là trên tập hợp các lớp Kα size 12{α} {} các yếu tố liên hợp.
Kα size 12{K rSub { size 8{α} } } {}= bab−1∣b∈G size 12{ left lbrace `b`a`b rSup { size 8{ - 1} } ` lline `b` in `G right rbrace } {}
Ta viết
χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) = χ size 12{χ} {}(Kα size 12{ {} rSub { size 8{α} } } {}).
Có một định lý thường dùng về hàm đặc trưng của các biểu diễn tối gian không tương đương của nhóm hữu hạn. Giả sử có nhóm hữu hạn G và ký hiệu χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {})(a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α size 12{α} {}). Ta hãy coi N giá trị χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {})(a) là N thành phần của một vectơ trong không gian Euclide phức N chiều và định nghĩa tích vô hướng của hai hàm đặc trưng χ size 12{χ} {}(α size 12{α} {}) và χ size 12{χ} {}(β size 12{β} {}) như là tích vô hướng của hai vectơ chia cho N
Các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T ( α ) size 12{T rSup { size 8{ ( α ) } } } {} của nhóm hữu hạn G thỏa mãn điều kiện trực giao chuẩn hóa
Định lý này có một số hệ quả thường được sử dụng. Giả sử có một nhóm hữu hạn G và ta đã biết tất cả các hàm đặc trưng χ(α) size 12{χ rSup { size 8{ ( α ) } } } {}(a) của tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α size 12{α} {}) của nhóm này. Cho một biểu diễn T bất kỳ của nhóm G và giả sử rằng ta đã biết được hàm đặc trưng χ(α) size 12{χ rSup { size 8{ ( α ) } } } {}(a) của biễn T. Khi đó ta có thể xác định được ngay rằng biểu diễn T có chứa biểu diễn tối giản T(α size 12{α} {}) hay không, và nếu có chứa tì chứa bao nhiêu lần. Thực vậy, theo Mệnh đề 2, nếu T chứa T(α size 12{α} {})nα size 12{α} {}lần, thì
χ size 12{χ} {}(a) = ∑anαχ(α)(a) size 12{ Sum cSub { size 8{a} } {n rSub { size 8{α} } `χ rSup { size 8{ ( α ) } } ` ( a ) } } {}
Lấy tích vô hướng cả hai vế của hệ thức này với hàm đặc trưng χ(β) size 12{χ rSup { size 8{ ( β ) } } } {}(a) nào đó và dùng công thức (37), ta thu được
nβ size 12{n rSub { size 8{β} } } {} = χ(β),χ size 12{ left (χ rSup { size 8{ ( β ) } } ,`χ right )} {}.
Hệ quả 1
Cho χ ( α ) size 12{χ rSup { size 8{ ( α ) } } } {} (a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản T ( α ) size 12{T rSup { size 8{ ( α ) } } } {} của một nhóm hữu hạn G, T là một biểu diễn nào đó với hàm đặc trưng χ ( a ) size 12{χ ( a ) } {} . Biểu diễn T chứa biến diễn T ( α size 12{α} {} ) một số lần bằng
nα size 12{n rSub { size 8{α} } } {} = χ(β),χ size 12{ left (χ rSup { size 8{ ( β ) } } ,`χ right )} {}.
Hãy xét tích vô hướng của hàm đặc trưng χ size 12{χ} {}của một biểu diễn tùy ý T với chính nó và gọi là đại lượng thu được là bình phương vô hướng của hàm đặc trưng. Từ Mệnh đề 2 và Định lý về tính trực giao chuẩn hóa của các hàm hàm đặc trưng suy ra rằng.
χ,χ size 12{ left (χ,`χ right )} {} = ∑αnαχ(α),∑βnβχ(β) size 12{ left ( Sum cSub {α} {n rSub { size 8{ {} rSup { size 6{α} } } } χ rSup { ( α ) } } size 12{,` Sum cSub {β} {n rSub { {} rSup { size 6{β} } } size 12{χ rSup { ( β ) } }} } right )} {} = ∑αnα2 size 12{ Sum cSub { size 8{α} } {n rSub { size 8{α} } rSup { size 8{2} } } } {}.
Nếu T là một biểu diễn tối giản thì trong số các số nguyên nα size 12{α} {}chỉ có một số khác không và bằng 1. Khi đó
χ,χ size 12{ left (χ,`χ right )} {} = 1.
Còn nếu T là một biểu diễn khả quy thì ít nhất có hai số nα size 12{α} {} lớn hơn hoặc bằng 1.
Hệ quả 2
Nếu một biểu diễn của nhóm hữu hạn G là tối giản thì bình phương vô hướng của hàm đặc trưng của nó bằng 1, còn nếu biểu diễn là khả quy thì bình phương vô hướng của nó lớn hơn 1.
